昔の痛い思い出が教える・・・・（２） - 工場統計力学（建設中！）

「昔の痛い思い出が教える・・・・（１）」の続きです。
では、Ｍ／Ｍ／ｓの場合について式(9)(10)

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{s!(1-u)u^{\sqrt{2(s+1)}-1}}{k!(su)^{s-k}}$ ・・・・(9)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)u^{\sqrt{2(s+1)}-1}$ ・・・・(10)
- ただし
  - $b=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(4)

を評価してみます。

Ｍ／Ｍ／ｓでは式(4)は、 $c_e=1$ なので

$b=u$ ・・・・(11)

となります。よって式(10)は

の時
- $p(k){\approx}u^{k-s}(1-u)u^{\sqrt{2(s+1)}-1}$ ・・・・(12)

となります。式(9)は式(9)のままです。

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{s!(1-u)u^{\sqrt{2(s+1)}-1}}{k!(su)^{s-k}}$ ・・・・(9)

これに実際の値を入れて、その結果を下に示す式(1)(3)での結果、つまりより厳密な計算の結果、と比較してみます。

[tex:k
- $p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(1)
- ただし、 $p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(2)
の時
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\Pi(M/M/s)$ ・・・・(3)
- ただし
  - $\Pi(M/M/s)=\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(5)

ただし、式(3)はＭ／Ｍ／ｓの場合、式(11)により

の時
- $p(k){\approx}u^{k-s}(1-u)\Pi(M/M/s)$ ・・・・(13)

となります。
さて、実際に $u$ に適当な値を入れて式(12)と式(13)を計算し、その結果を比較したところ、まあまあ似た値が導かれるのですが、式(1)と式(9)を比較すると大きく値が違っていました。特に $p(0)$ の値が大きく異なっています。以下のグラフに、 $u$ の値を変えた時の式(9)による $p(0)$ の値を示します。

このように式(9)による $p(0)$ の値は $u$ が0.3より小さくなると急速に大きくなり、１以上という確率の値としてはありえない値を示すようになります。これは明らかにおかしいです。ということは式(9)は近似式としてはふさわしくない、ということです。
どうしてこんなことが起きたのでしょうか？　前回の「昔の痛い思い出が教える・・・・（１）」において