ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（６）

「今ならChaothonさんの質問に答えられると思う。（２）」では、Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態確率の近似式を示しましたが、「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１１）」でのＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間 $CT_q(GI/G/s)$ の近似式

$CT_q(GI/G/s)\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{\Pi(M/M/s)}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(1)

が判明した成果を踏まえて、待ち行列の定常状態確率の近似式をＧＩ／Ｇ／ｓの場合まで拡張できないか検討することは、そういえば、途中で頓挫していたのでした。どこで頓挫したかというと「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（２）」のところです。

・・・・・・さて、ここから先が詰まってしまいました。もし

$\Omega_{GI/G/s}{\approx}\Pi_{M/M/s}$ ・・・・(19)

を言うことが出来れば $CT_q$ の近似式を得ることが出来るのですが、式(19)が言えるのかどうか、今の私には分かりません。

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（２）」

その後、上の引用部の式(19)が一般には成り立たない（Ｍ／Ｇ／ｓならば成り立つ）ことが「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（３）」や「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（４）で明らかになりました。それでも無理やり式(19)を認めてＧＩ／Ｇ／ｓの定常状態分布の近似式を提示することに意味があるのかどうか、もう一度、考えてみたいと思います。
また、「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（２）」の式(15)では（ここでは番号を振り直して式(2)とします） $CT_q(GI/G/1)$ を

$CT_q(GI/G/1)=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}$ ・・・・(2)

としているのですが、上記式(1)と整合を取るならば

$CT_q(GI/G/1)=\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{u}{1-u}$ ・・・・(3)

としなければなりません。この点も改善したいと思います。

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態分布を求めて（２）」に沿って考えると

$CT_q{\approx}\frac{b}{1-b}t_e$ ・・・・(4)

でした。よって

$\frac{b}{1-b}=\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\frac{u}{1-u}$ ・・・・(5)

よって

$\frac{1-b}{b}=\frac{2(1-u)}{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$
$\frac{1}{b}-1=\frac{2(1-u)}{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$
- $=\frac{2-(2-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$
$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2-(2-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$ ・・・・(6)

となります。
さて、ここからどう攻めましょうか？