ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布と定常状態分布の関係を求める試み（失敗）

以前、自分が書いた「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）」を見直していて、実はＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列で用いた論理の展開がＧＩ／Ｇ／ｓの場合にも適用出来るのではないか、という気がしてきました。そこで、このことを以下に試してみます。

ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列において、時間平均で、システム内にジョブが $k$ 個ある確率（定常状態分布）を $p(k)$ で表し、ジョブ到着時にシステム内にジョブが（その到着するジョブを除いて） $k$ 個ある確率（到着時刻状態分布）を $\pi(k)$ で表すことにします。そして、この両者の関係を求めてみます。

到着直前にシステム内のジョブが $k$ 個だった場合、ジョブ到着によって $k+1$ 個になります。この $k{\rightar}k+1$ の変化が単位時間あたり平均何回起きるか考えてみます。装置の稼働率を $u$ 、装置の平均処理時間を $t_e$ とすると、単位時間内の平均ジョブ到着数は

$\frac{su}{t_e}$ ・・・・(1)

となります。到着直前にシステム内のジョブ数が $k$ 個である確率は $\pi(k)$ になりますので、単位時間あたり $k{\rightar}k+1$ の変化が起きる平均回数は

$\frac{su}{t_e}\pi(k)$ ・・・・(2)

になります。次に、単位時間あたり $k+1{\rightar}k$ の変化が起きる平均回数を考えます。任意の時刻にシステム内にジョブが $k+1$ 個あったとしてそれが $k$ 個になるというのは、ジョブの処理が終了するということです。 $k+1{\ge}s$ の場合は、全ての装置が処理中ですから、このジョブ終了は（処理時間分布が指数分布でなくて一般の分布であったとしても）、単位時間あたり

$\frac{s}{t_e}$ ・・・・(3)

回になるような気がします。気がしますが、本当でしょうか？　もしこれが本当ならば、任意の時刻にシステム内にジョブが $k+1$ 個ある確率は $p(k+1)$ なので、 $k+1{\rightar}k$ の変化は単位時間あたり平均

$\frac{s}{t_e}p(k+1)$ ・・・・(4)

回になります。今は定常状態を考えていますから、式(2)と式(4)は等しいはずです。よって

の場合
- $\frac{su}{t_e}\pi(k)=\frac{s}{t_e}p(k+1)$

よって

の場合
- $p(k+1)=u\pi(k)$ ・・・・(5)

となります。

では、式(3)がＧＩ／Ｇ／ｓで成り立つというのは本当でしょうか？
最初、私は本当のような気がしたのですが、調べてみると反例が出てきました。問題を扱いやすくするために $s=1$ とします。そしてＭ／Ｄ／１待ち行列を考えてみます。式(3)が成り立つとすれば、式(5)から $k{\ge}0$ の場合、つまり任意の $k$ について