平均待ち行列長 - 工場統計力学（建設中！）

「平均待ち時間」と「定常状態分布」のつづきです。ここでは、任意のジョブ到着間隔分布と、任意の処理時間分布を持つ待ち行列について、平均待ち行列長を推定する近似値を紹介します。
「リトルの法則」

を用います。WIPに平均待ち行列長を割当てると、サイクルタイムが平均待ち時間となります。スループットは、少し考察すると

であることが分かります。よって、平均待ち行列長を $L_q$ で表すと

であることが分かります。ここで「平均待ち時間」の式(1)を用いると

$L_q=\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{s(1-u)}$ ・・・・(13)

式(1)の代わりに式(3)を用いると

$L_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{s^{s-1}u^{s+1}}{s!(1-u)^2}\cdot\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(14)

ここで「定常状態分布」で用いた式(6)

$p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(6)

の $p(0)$ を用いれば

$L_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{s^{s-1}u^{s+1}}{s!(1-u)^2}p(0)$ ・・・・(15)

と表すことも出来ます。逆に式(13)が成り立てば式(1)が成り立つことも、式(14)あるいは(15)が成り立てば式(3)が成り立つことも、論理を逆にたどることで言うことが出来ます。

さて次に、「定常状態分布」で提示した定常状態分布 $p(k)$

と式(15)の整合性について示します。まず、平均待ち行列長 $L_q$ はその定義から

となります。この式と式(5)から

$L_q{\approx}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)\Bigsum_{k=s+1}^{\infty}(k-s)b^{k-s}$

よって

$L_q{\approx}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)\Bigsum_{k=1}^{\infty}kb^k$ ・・・・(17)

ここで「補足」の式(2)により

よって式(17)は

ここで「定常状態分布」の式(7)

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2-(2-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$ ・・・・(7)

を代入すると

- $=\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2-(2-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u-(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$
- $=\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2-2u}=\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2(1-u)}$
- $=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2}\cdot\frac{(su)^s}{s!(1-u)^2}p(0)$
- $=\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{s^su^{s+1}}{s!(1-u)^2}p(0)$

よって式(15)

$L_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{s^su^{s+1}}{s!(1-u)^2}p(0)$ ・・・・(15)

に一致します。ここから、

$CT_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{s^{s-1}u^s}{s!(1-u)^2}\cdot\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}t_e$ ・・・・(3)

とも整合性がとれていることが分かります。