ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（３） - 工場統計力学（建設中！）

「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（２）」の最後で私はＤ／Ｄ／１待ち行列の定常状態確率について

さらに「定常状態分布」の式(4)(5)

[tex:k

$p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(4)

$k{\ge}s$ の場合

$p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(5)

も、Ｄ／Ｄ／１では

$k=0$ の場合

$p(0)\approx\frac{u^0}{1!}p(0)=1-u$

$k{\ge}1$ の場合

$p(k){\approx}0^{k-1}(1-0)\frac{u^1}{1!(1-u)}(1-u)=0^{k-1}u$

つまり

$k=0$ の場合

$p(0)\approx{1}-u$ ・・・・(44)

$k{\ge}1$ の場合

$p(k){\approx}{0}^{k-1}u$ ・・・・(45)

となり、さらに式(45)は $k=1$ の場合と $k>1$ の場合に分けて考えれば

$k=0$ の場合

$p(0)\approx{1}-u$ ・・・・(44)

$k=1$ の場合

$p(1){\approx}u$ ・・・・(46)

$k>1$ の場合

$p(k){\approx}{0}$ ・・・・(47)

となり、これもまたＤ／Ｄ／１の $p(k)$ の値として妥当な値を示しています。

と書いたのですが、改めて「定常状態分布」を見ると

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{2-(2-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$ ・・・・(7)

と書いておりました。Ｄ／Ｄ／１ですから $c_a=0$ かつ $c_e=0$ です。これらを式(7)に代入すると、

$b=0$

になります。それでは、「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（２）」での問い

・・・・間違っていたのは $b$ を求める式(27)

$b=\frac{(2c_a^2+[1-c_a^2]u)u}{2-(2-\{2c_a^2+[1-c_a^2]u\})u}$ ・・・・(27)

である、とも考えることが出来そうだからです。

では式(27)の代わりにどのような式を構成すればよいのでしょうか？　まだ私には分かりません。

については、式(27)の代わりに式(7)を用いればよいのでしょうか？

ところがこれはうまく行きません。たとえば、Ｍ／Ｄ／ｓの場合、式(7)は、 $c_a=1$ 、 $c_e=0$ なので

$b=\frac{u}{2-u}$ ・・・・(48)

となりますが、「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて」の式(26)

$\Pi\approx\frac{b}{u}\cdot\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(26)

に式(48)を代入すると

$\Pi\approx\frac{1}{2-u}\cdot\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(49)

となってしまいます。ところがＭ／Ｄ／ｓはＭ／Ｇ／ｓの特殊な場合ですから「ジョブ到着時に、全ての装置がふさがっている確率」の式(24)

$\Pi{\approx}\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(24)

が成り立つはずです。よって式(49)は正しくありません。ということは $b$ に式(7)を用いることは、少なくとも式(26)に用いることは間違っていることになります。

では、この問題はどのように解決したらよいでしょうか？　私が考えたのは、

$\Pi\approx\frac{b}{u}\cdot\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(26)

で出てくる $b$ の代わりに $\beta$ と置き、 $\beta$ は $b$ とは別のものと考えることです。

$\Pi\approx\frac{\beta}{u}\cdot\frac{\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(50)

そもそも $b$ は「定常状態分布」のＧＩ／Ｇ／ｓについての $p(k)$ の式

の場合
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(5)

の $b$ を与えるものとして求められました。そこで、これと式(50)に出てくる $\beta$ とは意味が違うものである、ただし処理時間分布が指数分布（Ｍ）の場合には両者が一致する、と考えることにしました。