ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（５） - 工場統計力学（建設中！）

の場合
- $\pi(k){\approx}\frac{\beta}{u}p(k)$ ・・・・(54)

の根拠づけと、この式に現れる $\beta$ の値そのものの探求を行っていきます。そのために「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）」を振替ってみます。まず「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）」の式(8)（ここでは番号を振りなおして式(55)とします）

の場合
- $\pi(k)=\frac{1}{u}p(k+1)$ ・・・・(55)

に対応する式をＧＩ／Ｇ／ｓの場合に求めてみようと思います。そして、「定常状態分布」のＧＩ／Ｇ／ｓについての $p(k)$ の式

の場合
- $p(k){\approx}b^{k-s}(1-b)\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(5)

から

の場合
- $p(k+1){\approx}bp(k)$ ・・・・(56)

が導き出されますので、この式(56)を式(55)に代入して、ではなくてＧＩ／Ｇ／ｓにおける式(55)に対応する式に代入して式(54)に似た形の式を導出し、そのことによって $\beta$ の値を決定したいと思います。

では、ＧＩ／Ｇ／ｓについて「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）」での記述をなぞって考察していきます。到着直前にシステム内のジョブが $k$ 個だった場合、ジョブ到着によって $k+1$ 個になります。この $k{\rightar}k+1$ の変化が単位時間あたり平均何回起きるか考えてみます。装置の稼働率を $u$ 、装置の平均処理時間を $t_e$ とすると、単位時間内の平均ジョブ到着数は

$\frac{su}{t_e}$ ・・・・(57)

となります。到着直前にシステム内のジョブ数が $k$ 個である確率はＧＩ／Ｇ／ｓの場合でも $\pi(k)$ で表されますので、単位時間あたり $k{\rightar}k+1$ の変化が起きる平均回数は

$\frac{su}{t_e}\pi(k)$ ・・・・(58)

になります。ここまではＧＩ／Ｇ／ｓであろうとＧＩ／Ｍ／ｓの時と同様に成り立ちます。次に、単位時間あたり $k+1{\rightar}k$ の変化が起きる平均回数を考えます。任意の時刻にシステム内にジョブが $k+1$ 個あったとしてそれが $k$ 個になるというのは、ジョブの処理が終了するということです。 $k+1{\ge}s$ の場合は、全ての装置が処理中ですから、このジョブ終了は、処理時間分布が指数分布（Ｍ）の場合には、単位時間あたり

$\frac{s}{t_e}$ ・・・・(59)

回になると、「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の到着時刻状態分布の近似式（１）」では説明しました。そして任意の時刻にシステム内にジョブが $k+1$ 個ある確率は $p(k+1)$ なので、単位時間あたり $k+1{\rightar}k$ の変化が起きる平均回数は

$\frac{s}{t_e}p(k+1)$ ・・・・(60)

になるとし、定常状態では単位時間あたり $k{\rightar}k+1$ の変化が起きる平均回数と $k+1{\rightar}k$ の変化が起きる平均回数が等しいはずなので式(58)と(60)が等しいと置き

$\frac{su}{t_e}\pi(k)=\frac{s}{t_e}p(k+1)$

から、

$\pi(k)=\frac{1}{u}p(k+1)$ ・・・・(55)

を導き出しました。しかし、この導出はよく考えるとおかしい点があります。 $k+1{\ge}s$ の場合は、全ての装置が処理中だからジョブ終了は、処理時間分布が指数分布（Ｍ）の場合には、単位時間あたり

$\frac{s}{t_e}$ ・・・・(59)

回になる、としましたがここには飛躍があります。１回処理終了すればシステムはジョブ数 $k+1$ の状態ではもはやないので、単位時間あたり何回であるかを考えるのはよく分かりません。そして式(60)ではその回数に状態 $k+1$ の確率 $p(k+1)$ を掛けているのですが、よく考えれば状態 $k+1$ の時に必ず処理終了が起こるわけではなく、新しいジョブが到着して状態 $k+1$ から状態 $k+2$ に遷移することも考えられます。よって、式(60)の意味は以下のように考えたほうが正しいと思います。
任意の時点でシステムが状態 $k+1$ になっている確率が $p(k+1)$ である。そして、その時点から $dt$ 後までの間に処理が１つ完了する確率は、指数分布の記憶なし特性により常に一定の値であり、その値は

$\frac{s}{t_e}dt$ ・・・・(61)

である。よって、任意の時点で状態が $k+1$ であり、かつ、その $dt$ 後までの間に処理終了する確率は

$\frac{s}{t_e}p(k+1)dt$ ・・・・(62)

よって、単位時間あたりには

$\frac{s}{t_e}p(k+1)$ ・・・・(60)

となる。以上のように考えるのが正しいと思います。そうすると、このような考え方は処理時間が一般分布（Ｇ）の場合には、そのまま当てはまりません。それは一般分布は記憶なしではないからです。つまり任意の時点から $dt$ 後までの間に処理が１つ完了する確率は、装置の処理が開始されてからの時間に依存するからです。そこで考え方をちょっと変えてみます。

処理時間が一般分布（Ｇ）の場合、処理終了時に、終了直前の状態が $k+1$ 、ただし $k+1{\ge}s$ 、であるような処理終了の回数を単位時間あたりで計ります。その値の平均値を $A$ で表すことにします。 $A$ は装置台数 $s$ に比例することは容易に分かります。また、平均処理時間 $t_e$ に反比例することも分かります。さらに定常状態確率 $p(k+1)$ に比例することも分かります。よって比例定数 $\alpha$ を導入すれば

$A=\alpha\frac{s}{t_e}p(k+1)$ ・・・・(63)

と書けます。