ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（６） - 工場統計力学（建設中！）

「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（５）」の続きです。処理終了時に、終了直前の状態が $k+1$ 、ただし $k+1{\ge}s$ 、であるような処理終了の回数を単位時間あたりで計った値の平均値である式(63)

$A=\alpha\frac{s}{t_e}p(k+1)$ ・・・・(63)

と $k{\rightar}k+1$ の変化が単位時間あたり起こる回数の平均値

$\frac{su}{t_e}\pi(k)$ ・・・・(58)

は定常状態では等しいはずなので

$\frac{su}{t_e}\pi(k)=\alpha\frac{s}{t_e}p(k+1)$

よって

$\pi(k)=\frac{\alpha}{u}p(k+1)$ ・・・・(64)
ただし $k+1{\ge}s$

ここから

の場合
- $\pi(k)=\frac{\alpha}{u}p(k+1)$ ・・・・(65)

を言うことが出来ます（ $k+1{\ge}s$ ならば $k{\ge}s$ なので）。「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（５）」の式(56)

の場合
- $p(k+1){\approx}bp(k)$ ・・・・(56)

を式(65)に代入して

の場合
- $\pi(k){\approx}\frac{\alpha{b}}{u}p(k)$ ・・・・(66)

よって

$\Bigsum_{k=s}^{\infty}\pi(k){\approx}\frac{\alpha{b}}{u}\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)$

よって

$\Pi\approx\frac{\alpha{b}}{u}\Omega$
$\frac{\alpha{b}}{u}\approx\frac{\Pi}{\Omega}$ ・・・・(67)

これを「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率Πを求めて（４）」の式(52)

$\frac{\beta}{u}=\frac{\Pi}{\Omega}$ ・・・・(52)

と比べると

$\beta{\approx}\alpha{b}$ ・・・・(68)

であることが分かります。

ところで $\alpha$ を定義したところでは到着分布には何も言っていませんでした。よって、 $\alpha$ は到着分布に依存しないと考えられます。そこでＭ／Ｇ／ｓの場合を考えて、その時の $\alpha$ を求めれば、それがＧＩ／Ｇ／ｓの場合の $\alpha$ になるはずです。Ｍ／Ｇ／ｓの場合はPASTAが使えて