Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列のサイクルタイム分布 - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列の待ち時間分布」の結果を利用することでＭ／Ｍ／ｓ待ち行列のサイクルタイム分布を求めることが出来ます。「Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列の待ち時間分布」の式(7)（ここでは番号を振り直して式(1)とします）

$f_q(t)=\frac{(1-u)s\Pi}{t_e}\exp\left(-\frac{(1-u)st}{t_e}\right)$ ・・・・(1)

は積分すると

- $=\Pi\Bigint_0^{\infty}\frac{(1-u)s}{t_e}\exp\left(-\frac{(1-u)st}{t_e}\right)=\Pi$

となって

$\Bigint_0^{\infty}f_q(t)dt=1$

とはなりません。これは式(7)が $k{\ge}s$ の時の分布であるためです。 $k{\ge}s$ であるとはつまり全ての装置がふさがっている場合ですから、式(1)分布の積分の結果が $\Pi$ であるというのは整合が採れています。そこで、今、全ての装置がふさがっている場合の条件確率として待ち時間の分布を $f_{qf}(t)$ で表すならば、それは式(1)の右辺を全ての装置がふさがっている確率 $\Pi$ で割ったものになります。つまり

$f_{qf}(t)=\frac{(1-u)s}{t_e}\exp\left(-\frac{(1-u)st}{t_e}\right)$ ・・・・(2)

です。では、全ての装置がふさがっていることを前提にして、この場合のジョブのサイクルタイムの分布を求めてみましょう。サイクルタイムは待ち時間＋処理時間でした。待ち時間の分布は式(2)で与えられます。処理時間の分布を $g(t)$ で表すと

$g(t)=\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)$ ・・・・(3)

です。よってサイクルタイムの分布 $f_{CTf}$ は、 $f_{qf}(t)$ と $g(t)$ のたたみ込み積分になります。

- $=\frac{(1-u)s}{t_e^2}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)\Bigint_0^t\exp\left(-\frac{(1-u)s-1}{t_e}\tau\right)d\tau$
- $=\frac{(1-u)s}{t_e^2}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)\left(-\frac{t_e}{(1-u)s-1}\right)\left[\exp\left(-\frac{(1-u)s-1}{t_e}\tau\right)\right]_0^t$
- $=\frac{(1-u)s}{t_e^2}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)\left(\frac{t_e}{(1-u)s-1}\right)\left[1-\exp\left(-\frac{(1-u)s-1}{t_e}t\right)\right]$
- $=\frac{(1-u)s}{t_e[(1-u)s-1]}\left[\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)-\exp\left(-\frac{(1-u)s}{t_e}t\right)\right]$

よって

$f_{CTf}(t)=\frac{(1-u)s}{t_e[(1-u)s-1]}\left[\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)-\exp\left(-\frac{(1-u)s}{t_e}t\right)\right]$ ・・・・(4)

となります。

さらに、空いている装置がある場合のジョブのサイクルタイムは処理時間だけなので式(3)で与えられます。よって、全ての場合についてのジョブのサイクルタイムの分布は、確率 $\Pi$ で式(4)であり、確率 $1-\Pi$ で式(3)なので、サイクルタイムの分布を $f_{CT}(t)$ で表せば、

$f_{CT}(t)={\Pi}f_{CTf}(t)+(1-\Pi)g(t)$ ・・・・(5)

です。式(5)に(3)と(4)を代入して

$f_{CT}(t)=\frac{\Pi(1-u)s}{t_e[(1-u)s-1]}\left[\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)-\exp\left(-\frac{(1-u)s}{t_e}t\right)\right]+(1-\Pi)\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)$ ・・・・(6)

となります。Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列のサイクルタイムの確率分布の式を求めることが出来ました。しかし、これは複雑で直感的には分かりづらい式になってしまいました。

確認のために $s=1$ の時、つまりＭ／Ｍ／１の時に式(6)がどのようになるか確かめておきます。
$s=1$ の時

- $=-\frac{1-u}{t_e}\left[\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)-\exp\left(-\frac{1-u}{t_e}t\right)\right]+(1-u)\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)$
- $=-\frac{1-u}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)+\frac{1-u}{t_e}\exp\left(-\frac{1-u}{t_e}t\right)+(1-u)\frac{1}{t_e}\exp\left(-\frac{t}{t_e}\right)$
- $=\frac{1-u}{t_e}\exp\left(-\frac{1-u}{t_e}t\right)$

よって

$f_{CT}(t)=\frac{1-u}{t_e}\exp\left(-\frac{1-u}{t_e}t\right)$

となり、「Ｍ／Ｍ／１待ち行列のジョブのサイクルタイム分布」の式(4)と一致します。