Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間分布の近似（１）

待ち行列理論

「Ｍ／Ｅ2／１待ち行列の待ち時間分布を求めようとしたけれど」ではＭ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の分布を求める手がかりとしてＭ／Ｅ2／１待ち行列の待ち時間分布を求めようとしたのですが失敗してしまいました。そこで、今度は別の方面からこの問題を攻めてみることにします。


「待ち時間制約（２）」の式(7)ではＭ／Ｍ／１待ち行列の待ち時間の累積確率分布を（ここでは番号を振り直して式(1)とします）

  • F_q(t)=1-u\exp\left(-\frac{(1-u)t}{t_e}\right)・・・・(1)

と求めることが出来ました。そして「Ｍ／Ｄ／１待ち行列の待ち時間分布（２）」の式(9)ではＭ／Ｄ／１待ち行列の待ち時間の累積確率分布を近似的に（ここでは番号を振り直して式(2)とします）

  • F_q(t){\approx}1-u\left(\frac{u}{2-u}\right)^{t/t_e}・・・・(2)

と求めることが出来ました。式(2)は

  • F_q(t)=1-u\left[\exp\left\{\log\left(\frac{u}{2-u}\right)\right\}\right]^{t/t_e}
  • F_q(t)=1-u\exp\left[\log\left(\frac{u}{2-u}\right)\frac{t}{t_e}\right]・・・・(3)

と変形することが出来ます。式(1)と(3)から類推してＭ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の累積確率分布を近似的に

  • F_q(t){\approx}1-u\exp\left(-\frac{at}{t_e}\right)・・・・(4)

という形になると想像します。aはtに無関係な係数とします。すると、t>0の時の待ち時間の確率密度関数f_q(t)は、式(4)をtで微分して

  • f_q(t){\approx}\frac{a}{t_e}u\exp\left(-\frac{at}{t_e}\right)・・・・(5)

となります。このf_q(t)は指数分布にuを掛けた形になっていますので、待ち時間tの平均値CT_qは簡単に求めることが出来て

  • CT_q{\approx}\frac{ut_e}{a}・・・・(6)

になります。一方「Ｍ／Ｇ／１待ち行列の特性」により、

  • CT_q{\approx}\frac{1+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e・・・・(7)

なので、式(6)(7)より

  • \frac{ut_e}{a}=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e

よって

  • \frac{1}{a}=\frac{1+c_e^2}{2}\frac{1}{1-u}
  • a=\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}・・・・(8)

式(8)を式(4)に代入して、Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の累積確率分布の近似式として

  • F_q(t){\approx}1-u\exp\left(-\frac{2(1-u)t}{(1+c_e^2)t_e}\right)・・・・(9)

を得ることが出来ます。