Ｍ／Ｅ2／１待ち行列の待ち時間分布を求めようとしたけれど

「２次のアーラン分布の残り時間分布」での成果をたずさえて、「Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間分布は求めることが出来るか？」で計画したように、Ｍ／Ｇ／１で処理時間が２次のアーラン分布の場合、つまりＭ／Ｅ2／１の場合のジョブの待ち時間の分布を求めることを試みてみましょう。

さて、ジョブがＭ／Ｅ2／１待ち行列システムに到着した時、システム内にこのジョブを含めなくて $k$ 個のジョブがある確率は、「Ｍ／Ｇ／１待ち行列の特性」から

$p(0)=1-u$ ・・・・(1)
の場合は近似的に
- $p(k){\approx}b^{k-1}(1-b)u$ ・・・・(2)

です。今、到着したジョブは $k$ 個のジョブが処理終了するのを待つことになります。 $k{\ge}1$ の場合、 $k$ 個のジョブのうち１個は処理中であり、残りの $k-1$ 個のジョブは装置が空くのを待っている状態です。待っている $k-1$ 個のジョブは平均時間 $t_e$ の２次のアーラン分布で装置で処理されるので、これらのジョブが全て処理される時間の分布は同一分布の２次のアーラン分布を持つ $k-1$ 個の確率変数を足し合わせた場合の分布になります。そして１個の２次のアーラン分布自体が同一分布の指数分布を持つ２個の確率変数を足し合わせた場合の分布と考えられるので（「アーラン分布」参照）、結局、 $k-1$ 個のジョブが全て処理される時間の分布は、平均時間 $t_e/2$ の指数分布を持つ $2k-2$ 個の確率変数を足し合わせた場合の分布になります。
さらに、処理中のジョブの残り処理時間の分布について言えば、「２次のアーラン分布の残り時間分布」で考察したように、1/2の確率で平均時間 $t_e/2$ の指数分布を持つ確率変数２個を足し合わせた場合の分布であり、1/2の確率で平均時間 $t_e/2$ の指数分布（１個）でした。よって、到着したジョブの待ち時間時間は1/2の確率で平均時間 $t_e/2$ の指数分布を持つ $2k$ 個の確率変数の和の分布になり、1/2の確率で平均時間 $t_e/2$ の指数分布を持つ $2k-1$ 個の確率変数の和の分布になります。
「アーラン分布」の「アーラン分布は指数分布の和」のセクションで述べたように、平均 $1/\lambda$ の $k$ 個の指数分布の和はアーラン分布

$\frac{\lambda^kt^{k-1}}{(k-1)!}\exp(-\lambda{t})$ ・・・・(3)

となります。よって、ジョブが到着した時にシステム内に自分を含めなくて $k$ 個のジョブがある場合（ただし $k{\ge}1$ とします）の、到着したジョブが待つ時間の分布を $f(t;k)$ とすると、

$f(t;k)=\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{2}{t_e}\right)^{2k}t^{2k-1}}{(2k-1)!}\exp\left(-\frac{2t}{t_e}\right)+ \frac{1}{2}\frac{\left(\frac{2}{t_e}\right)^{2k-1}t^{2k-2}}{(2k-2)!}\exp\left(-\frac{2t}{t_e}\right)$

となります。この右辺を整理すると

$f(t;k)=\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{2t}{t_e}\right)\left[\frac{\left(\frac{2}{t_e}\right)^{2k}t^{2k-1}}{(2k-1)!}+ \frac{\left(\frac{2}{t_e}\right)^{2k-1}t^{2k-2}}{(2k-2)!}\right]$ ・・・・(4)

となります。到着時にシステム内に $k$ 個のジョブが存在する確率は式(2)で与えられるので、ジョブの待ち時間の確率分布 $f_q(t)$ は

$f_q(t){\approx}\Bigsum_{k=1}^{\infty}f(t;k)b^{k-1}(1-b)u$
$f_q(t){\approx}\frac{(1-b)u}{2}\exp\left(-\frac{2t}{t_e}\right)\Bigsum_{k=1}^{\infty}b^{k-1}\left[\frac{\left(\frac{2}{t_e}\right)^{2k}t^{2k-1}}{(2k-1)!}+\frac{\left(\frac{2}{t_e}\right)^{2k-1}t^{2k-2}}{(2k-2)!}\right]$ ・・・・(5)