ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（１）

「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の待ち時間分布の近似」では、ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列におけるジョブの待ち時間の累積確率分布を式(10)（ここでは番号を振り直して式(1)とします）

のように近似的に求めました。一方、「Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布の近似では、Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列におけるジョブの待ち時間の累積確率分布を式(4)（ここでは番号を振り直して式(2)とします）

のように近似的に求めました。この２つの成果から何とかＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布の近似式を求めることは出来ないでしょうか？　例えば、式(1)と(2)から、一般のＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間の累積確率分布について

$F_q(t){\approx}1-\frac{b\Pi}{u}\exp\left(-\frac{2(1-b)st}{(1+c_e^2)t_e}\right)$ ・・・・(3)

という式を想定することが出来ます。ここに $b$ は $c_e$ , $c_a$ , $u$ にのみ依存する変数であるとします。そしてジョブの到着過程がポアソン過程になると

になると考えれば、式(3)から式(2)を導き出すことが出来ます。また、処理時間分布が指数分布になると $c_e=1$ ですから

となり、式(3)は式(1)になります。

さて $b$ を求めることは出来るでしょうか？　式(3)の両辺をt>0の場合に微分して左辺を待ち時間の確率密度 $f_q(t)$ とおきます。

$f_q(t){\approx}\frac{b\Pi}{u}\cdot\frac{2}{1+c_e^2}\frac{(1-b)s}{t_e}\exp\left(-\frac{2}{1+c_e^2}\cdot\frac{(1-b)st}{t_e}\right)$ ・・・・(5)

これは指数分布に $b\Pi/u$ を掛けた形になっています。指数分布の部分で待ち時間の平均値を求めると

となります。よって待ち時間の平均値 $CT_q$ はこの式に $b\Pi/u$ を掛けたものになり

$CT_q\approx\frac{b\Pi}{u}\cdot\frac{1+c_e^2}{2}\cdot\frac{1}{(1-b)s}t_e$ ・・・・(6)

$CT_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{\Pi}{s(1-u)}t_e$ ・・・・(7)

なので、式(6)(7)から

$\frac{b\Pi}{u}\cdot\frac{1+c_e^2}{2}\cdot\frac{1}{(1-b)s}t_e=\frac{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}{2}\cdot\frac{\Pi}{s(1-u)}t_e$

よって

- $\frac{b}{u}(1+c_e^2)\frac{1}{1-b}=(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])\frac{1}{1-u}$
- $\frac{u}{b}\cdot\frac{1}{1+c_e^2}(1-b)=\frac{1-u}{c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u]}$
- $\frac{1-b}{b}=\frac{(1+c_e^2)(1-u)}{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$
- $\frac{1}{b}-1=\frac{(1+c_e^2)(1-u)}{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$
- - $=\frac{(1+c_e^2)-(1+c_e^2)u+(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}=\frac{(1+c_e^2)-(1-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u-1])u}{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}$

よって

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(1+c_e^2)-(1-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u-1])u}$ ・・・・(8)

何とか $b$ を求めることが出来ましたが、これはＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間の累積確率分布が式(3)で近似的に書けると仮定しての話です。これから式(8)の妥当性を確かめなければなりません。まずＭ／Ｇ／ｓの場合を考えてみます。この場合 $c_a=1$ なのでこれを式(8)に代入すると

となって式(4)が成り立ちます。次にＧＩ／Ｍ／ｓの場合を考えてみます。この場合 $c_e=1$ なのでこれを式(8)に代入すると

$b=\frac{(c_a^2+c_a^2(1-u)+u)u}{2-(1-c_a^2-c_a^2(1-u)-u+1)u}=\frac{(2c_a^2-c_a^2u+u)u}{2-(2-2c_a^2+c_a^2u-u)u}=\frac{(2c_a^2+[1-c_a^2]u)u}{2-(2-\{2c_a^2-[1-c_a^2]u\})u}$

よって

この式は「ＧＩ／Ｍ／ｓ待ち行列の特性」にある式と一致します。