ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（２）

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（１）」で、 $c_a^2=1$ の場合と、 $c_e^2=1$ の場合の式(8)

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(1+c_e^2)-(1-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u-1])u}$ ・・・・(8)

の妥当性を確かめてきましたが、正直なところ私はまだ安心出来ていません。それは過去に和訳したWhitt教授の論文「Queueing Network Analyzer」に以下の箇所があることに気がついたからです。

　遅延の確率 $P(W>0)$ 、ここでは $\sigma$ で表す、については、KraemerとLangenbach-Belzの近似*1
		(48)
を用いる。ただし、
	 	(49)
公式(48)はM/G/1システム、つまり、 $\rho$ についても正しい値をもたらす。(48)についてさらに支持する証拠はWhitt*2に含まれている。

「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１３）」より

さて、式(8)の $b$ はＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間の累積確率分布の近似を与える式、「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（１）」の式(3)

$F_q(t){\approx}1-\frac{b\Pi}{u}\exp\left(-\frac{2(1-b)st}{(1+c_e^2)t_e}\right)$ ・・・・(3)

で用いられています。ここから

$F_q(0){\approx}1-\frac{b\Pi}{u}$ ・・・・(9)

を導くことが出来、さらに $t{\ge}0$ なので $F_q(0)$ は $t=0$ 、すなわち待ち時間がない場合の確率を表すことになります。よって、到着したジョブが待つ確率は

$\frac{b\Pi}{u}$ ・・・・(10)

となります。これは、上のQueueing Network Analyzerの引用で当時の私が「遅延の確率」と訳した $\sigma$ と同じ意味です。ただし、上の引用の箇所ではＧＩ／Ｇ／１待ち行列を扱っています。つまり $s=1$ です。そこで $s=1$ の場合の式(10)を考えてみると $s=1$ で $\Pi=u$ になるので、結局、到着したジョブが待つ確率は

になります。はたして $b$ が上の引用に登場する式(48)(49)と一致するか、あるいは（どちらも近似式であるので）一致しないまでも近い値になるかどうか、が気になるところです。上の引用に登場する式(48)(49)を私がここで用いている記号で書き直しておきます。（式の番号も振り直しておきます。）

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(11)
$h(u,c_a^2,c_e^2)=\left\{{\frac{1+c_a^2+u{c_e^2}}{1+u(c_e^2-1)+u^2(4c_a^2+c_e^2)}\text{ c_a^2<1}\atop{\frac{4u}{c_a^2+u^2(4c_a^2+c_e^2)}}\text{ c_a^2{\ge}1}}$ ・・・・(12)

では、いろいろな $u$ 、 $c_a^2$ 、 $c_e^2$ の値について式(8)で求めた $b$ の値と式(11)(12)で求めた $b$ の値を比べてみます。

*1:W. Kraemer and M. Langenbach-Belz,「待ち行列システムGI/G/1における遅延についての近似公式」Congressbook, Enghth Int. Teletraffic Cong., Melbourne, 1976, pp. 235-1/8.

*2:W. Whitt,「GI/G/1待ち行列における遅延の最小化」Oper. Res., 32 (1984), to be published.