ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（３）

「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（２）」の続きです。
では、いろいろな $u$ 、 $c_a^2$ 、 $c_e^2$ の値について式(8)

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(1+c_e^2)-(1-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u-1])u}$ ・・・・(8)

で求めた $b$ の値と式(11)(12)

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(11)
$h(u,c_a^2,c_e^2)=\left\{{\frac{1+c_a^2+u{c_e^2}}{1+u(c_e^2-1)+u^2(4c_a^2+c_e^2)}\text{ c_a^2<1}\atop{\frac{4u}{c_a^2+u^2(4c_a^2+c_e^2)}}\text{ c_a^2{\ge}1}}$ ・・・・(12)

で求めた $b$ の値を比べてみます。

$u$ の値として0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1.0を
$c_a^2$ の値として0, 0.5, 1, 1.5, 2を
$c_e^2$ の値として0, 0.5, 1, 1.5, 2を
考えてみます。

まず、明らかなのはどちらの方式で $b$ を求めても $c_a^2=1$ の時は $b=u$ となることです。また、 $c_a^2=0$ かつ $c_e^2=0$ の場合は $u=1$ の場合を除いて、どちらの方式でも $b=0$ になり一致します。
$u=1$ の場合はどちらの方式でも分母がゼロになり、計算が出来ません。 $c_a^2=0$ の時は、 $c_e^>0$ であっても両者の値は比較的一致しています。以下は $c_a^2=0$ 、 $c_e^2=1$ 、つまりＤ／Ｍ／１の場合です。

以下は $c_a^2=0$ 、 $c_e^2=2$ の場合です。

$c_a^2=1$ の時には、両者の値が厳密に一致することはすでに述べました。
以下は $c_a^2=1$ 、 $c_e^2=2$ の場合です。

問題になるのは $c_a^2>1$ の場合です。この場合、両者の値の差が若干大きくなります。
以下は $c_a^2=2$ 、 $c_e^2=0$ の場合です。

以下は $c_a^2=2$ 、 $c_e^2=1$ の場合です。

以下は $c_a^2=2$ 、 $c_e^2=2$ の場合です。

このように両者の値は一致しない場合もあるので、どちらがよりよい近似なのか調査しなければなりません。ところでこの式(11)(12)を私はWhitt教授の「Queueing Network Analyzer」（「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１３）」参照）を読んで知ったのですが、「Queueing Network Analyzer」ではこれは、W. Kraemer and M. Langenbach-Belz,「Approximate Formulae for the Delay in the Queueing System GI/G/1（待ち行列システムGI/G/1における遅延についての近似公式）」Congressbook, Enghth Int. Teletraffic Cong., Melbourne, 1976, pp. 235-1/8.からの引用、と書いています。この論文が無料でダウンロード可能なことを最近発見しました。

http://www.itc-conference.org/fileadmin/ITCBibDatabase/1976/kraemer761.pdf

この近似式の根拠を理解するために、この論文を読むことにします。