「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（２）

『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（１）』ではＧＩ／Ｇ／１待ち行列における、待ち確率、つまり、ジョブが到着した際に装置がふさがっているのを見る確率 $b$ 、の近似式の形として

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)f(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(13)
ただし、は調整関数で以下の形式を持つ
- $f(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{1+ac_a^2+bc_e^2}{1-u+cc_a^2+dc_e^2}$ 　（ $c_a^2{\le}1$ ）・・・・(16)

を採用するところまでみました。ところで前記論文では、調整関数の形は $c_a^2{\le}1$ の場合と $c_a^2{\ge}1$ の場合で分けて考えるのがよいとしています。そして式(16)は $c_a^2{\le}1$ の場合の式の形としています。私には式(16)の形が $c_a^2{\ge}1$ の場合には用いられない理由が分かりません。前記論文では

3.2.2　公式の開発
先ほどと同じように、指数以下と超指数の到着間隔の分布関数を別々に扱った。

「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式（４）」参照

とあり、ここでいう「先ほど」というのは、平均待ち時間の近似式を導くところでの

3.1.2　公式の開発
公式の開発の間に、調整関数 $g(\cdot)$ について２つの異なる範囲、 $c_a^2{\le}1$ と $c_a^2{\ge}1$ をそれぞれ区別することが有用であることが分かった。

「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式（３）」参照

の箇所を指しているのですが、この箇所を見てもなぜ調整関数の形は $c_a^2{\le}1$ の場合と $c_a^2{\ge}1$ の場合で分けて考えるべきであるのか分かりません。おそらくは $c_a^2{\le}1$ の場合に求めた式が $c_a^2{\ge}1$ の場合にはシミュレーション結果と合わないからなのでしょう。しかしその詳細はこの論文には書かれていません。

さて、式(16)で変数 $a,b.c,d$ を求めるために論文ではＤ／Ｍ／１の場合を式(13)(16)に当てはめています。まず、Ｄ／Ｍ／１では

$u=-\frac{1-b}{\log(b)}$ ・・・・(17)

が成り立つとしています。これは「Ｄ／Ｍ／１待ち行列の到着時刻状態分布（２）」で導いた式(16)があり（ここでは番号を振り替えて式(18)とします）

$\frac{1}{b}\exp\left(\frac{b}{u}\right)=\exp\left(\frac{1}{u}\right)$ ・・・・(18)

を変形することで導くことが出来ます。つまり

$-\log(b)+\frac{b}{u}=\frac{1}{u}$
$\frac{b-1}{u}=\log(b)$
$\frac{b-1}{\log(b)}=u$

となって、式(17)を導くことが出来ます。この式を解析的に解くことは出来ないのですが、前記論文では近似的に

$b{\approx}\frac{2u^3}{1+u^2}$ ・・・・(19)

となると言っています。私は「Ｄ／Ｍ／１待ち行列におけるbの近似式」で述べたように

$b\approx\frac{u^2}{2-2u+u^2}$ ・・・・(20)

という近似式を得ていました。式(19)と式(20)のどちらがより真の $b$ に近い近似式でしょうか？　どちらが精度が高い近似式であるかはまず脇に置いておいて式(19)と(20)をグラフに描いて比較してみると、この２つの式の値がかなり一致することが分かります。

そこで私としても式(19)を認めることにします。さて、Ｄ／Ｍ／１では $c_a=0$ 、 $c_e=1$ なので式(13)は

$b=u-u(1-u)f(u,0,1)$ ・・・・(21)

となり、式(16)は

$f(u,0,1)=\frac{1+b}{1-u+d}$ ・・・・(22)

となります。式(21)と(22)から

$b=u-u(1-u)\frac{1+b}{1-u+d}$ ・・・・(23)

式(23)と式(19)から

$\frac{2u^3}{1+u^2}=u-u(1-u)\frac{1+b}{1-u+d}$
$u(1-u)\frac{1+b}{1-u+d}=u-\frac{2u^3}{1+u^2}=\frac{u+u^3-2u^3}{1+u^2}=\frac{u-u^3}{1+u^2}$
$(1-u)\frac{1+b}{1-u+d}=\frac{1-u^2}{1+u^2}$