「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（３）

『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（１）』『（２）』の検討内容をまとめると、 $c_a^2{\le}1$ の時の $b$ の近似式

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(11)
ただし
- $h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{1+ac_a^2+bc_e^2}{1-u+cc_a^2+dc_e^2}$ 　（ $c_a^2{\le}1$ ）・・・・(12-1)

は、Ｄ／Ｄ／１の場合、Ｄ／Ｍ／１の場合についてまず考察して、４つあるうちの２つのパラメータの値を決定し、次に何らかの方法（おそらくシミュレーション）でＤ／Ｇ／１の場合もその２つのパラメータで近似が成り立つことを確認しさらにE2／Ｍ／１、E4／Ｍ／１についても何らかの方法（おそらくシミュレーション）で $b$ の値を求めて、それに合うように残りの２つのパラメータの値を決定した、ということです。
私はE2／Ｍ／１、E4／Ｍ／１についてシミュレーションをする手段を持ち合わせいませんので、この近似式導出手順を確認することは出来ません。しかし、「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の待ち時間分布を求めて（３）」で示したように私の開発した近似式

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(1+c_e^2)-(1-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u-1])u}$ ・・・・(8)

と上記(11)(12-1)の式の値は $c_a^2{\le}1$ の時にかなり近い値を取るので、私の開発した近似式もまんざらではないことを示していると受け取りました。

問題になるのは $c_^2{\ge}1$ の場合です。この場合、私の開発した近似式(8)とWolfgang Kraemer氏とManfred Lagenbach-Belz氏の近似式

$b=u+(c_a^2-1)u(1-u)h(u,c_a^2,c_e^2)$ ・・・・(11)
ただし
- $h(u,c_a^2,c_e^2)=\frac{4u}{c_a^2+u^2(4c_a^2+c_e^2)}$ 　（ $c_a^2{\ge}1$ ）・・・・(12-2)

は若干、値が異なります。では式(12-2)の根拠を調べていきます。Wolfgang Kraemer氏とManfred Lagenbach-Belz氏の論文「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式（Approximate Formulae for the Delay in the Queueing System GI/G/1）」では式(12-2)の導出を以下のように説明しています。

3.2.2.2　超指数到着間隔分布関数
$c_a^2>1$ について、調整関数 $f(\cdot)$ の以下の形式が選択された。

$f(u.c_a^2,c_e^2)=\frac{a}{bc_a^2+cc_e^2}$ ・・・・(27)

パラメータ $a,b,c$ はやはり $u$ に依存する可能性がある。H2/D/1システムを考察すると、 $a=4u$ と $b=1+4u^2$ がシミュレーション結果を無理なく適合させることが判明した。
$c_e^2$ の $b$ への影響は比較的小さいので、 $c=u^2$ がすみやかに見つけられ、それらは $c_a^2>1$ についての最終結果(12-2)を導き出した。

「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式（４）」参照