「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（５）

『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（４）』の式(40)

$g(t)=\frac{2p^2u}{t_e}\exp\left(-\frac{2pu}{t_e}t\right)+\frac{2(1-p)^2u}{t_e}\exp\left(-\frac{2(1-p)u}{t_e}t\right)$ ・・・・(40)

を式(28)

$b=\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)g(t)dt$ ・・・・(28)

に代入しましょう。

- $=\frac{2u}{t_e}\left[\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)p^2\exp\left(-\frac{2pu}{t_e}t\right)dt+\Bigint_0^{\infty}\exp\left(-\frac{(1-b)t}{t_e}\right)(1-p)^2\exp\left(-\frac{2(1-p)u}{t_e}t\right)dt\right]$
- $=\frac{2u}{t_e}\left[\Bigint_0^{\infty}p^2\exp\left(-\frac{(1+2pu-b)t}{t_e}\right)dt+\Bigint_0^{\infty}(1-p)^2\exp\left(-\frac{(1+2(1-p)u-b)t}{t_e}\right)dt\right]$
- $=\frac{2u}{t_e}\left[p^2\frac{t_e}{1+2pu-b}+(1-p)^2\frac{t_e}{1+2(1-p)u-b}\right]$
- $=2u\left[\frac{p^2}{1+2pu-b}+\frac{(1-p)^2}{1+2(1-p)u-b}\right]$

よって

$b=2u\left[\frac{p^2}{1+2pu-b}+\frac{(1-p)^2}{1+2(1-p)u-b}\right]$ ・・・・(41)

ここで『「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（４）』の式(32)

$p=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}$ ・・・・(32)

を式(41)に代入すれば

$b=2u\left[\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2}{1+2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)u-b}+\frac{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)^2}{1+2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\right)u-b}\right]$

よって

$b=2u\left[\frac{\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)u-b}+\frac{\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)u-b}\right]$
$b=\frac{u}{2}\left[\frac{\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1+\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)u-b}+\frac{\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}{1+\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)u-b}\right]$ ・・・・(42)

さて式(42)を $b$ について解くことは出来そうですが煩雑になりそうです。そこで式(42)の右辺を計算する式をExcelのセルに作り、 $u$ の値をある値に決めた時に $b$ の値を調整することで式(42)の左辺と右辺が等しくなるようにします。厳密に等しくするのは大変ですから、 $b$ の値を小数点以下３桁まで調整して右辺と左辺の差が一番小さくなる値を求めます。その結果を以下の表に示します。

これをグラフに表すと以下のようになります。