Pageの近似式の再検討（２） - 工場統計力学（建設中！）

「Pageの近似式の再検討（１）」のつづきです。
ところで私はＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式を導出する際に、Pageの近似式

$CT_q(GI/G/s){\approx}c_a^2c_e^2CT_q(M/M/s)+c_a^2(1-c_e^2)CT_q(M/D/s)+(1-c_a^2)c_e^2CT_q(D/M/s)$ ・・・・(7)

から出発しています。（「ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の平均待ち時間の近似式（１）」参照）　私が開発した $b$ の近似式

$b=\frac{(c_a^2+c_e^2[c_a^2(1-u)+u])u}{(1+c_e^2)-(1-c_a^2-c_e^2[c_a^2(1-u)+u-1])u}$ ・・・・(1)

の精度が、 $c_a>1$ の場合によくない、ということは実はこのPageの近似式の見直しにまで発展します。それはなぜか、ということをこれから述べていきます。

Pageの近似式をＧＩ／Ｍ／１待ち行列に適用すると

$CT_q(GI/M/1){\approx}c_a^2CT_q(M/M/1)+(1-c_a^2)CT_q(D/M/1)$ ・・・・(8)

ここで、もちろん

$CT_q(M/M/1)=\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・(9)

です。また $CT_q(D/M/1)$ については私は「Ｄ／Ｍ／１における待ち時間の近似式」の式(6)（ここでは番号を振り直して式(9)とします）

$CT_q(D/M/1){\approx}\frac{u^2}{2(1-u)}t_e$ ・・・・(10)

を提案しました。式(9)(10)を式(8)に代入すると

- $=\frac{2c_a^2+(1-c_a^2)u}{2}\frac{u}{1-u}t_e$
- $=\frac{c_a^2(2-u)+u}{2}\frac{u}{1-u}t_e$

よって

$CT_q(GI/M/1){\approx}\frac{c_a^2(2-u)+u}{2}\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・(11)

となります。これは「Pageの近似式の再検討（１）」の式(6)

$CT_q=\frac{c_a^2(2-u)+u}{2}\cdot\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・(6)

にほかなりません。式(6)を導く際式(5)

$b=\frac{(c_a^2(2-u)+u)u}{2-(2-c_a^2(2-u)-u)u}$ ・・・・(5)

を用いました。式(5)はＧＩ／Ｍ／１の場合の式(1)です。この式(5)がＤ／Ｍ／１やE2／Ｍ／１の時には（そしてもちろんＭ／Ｍ／１の時にも）精度がよいのに、 $c_a^2=2$ や $c_a^2=3$ のH2／Ｍ／１の場合には精度が悪いことを「「待ち行列システムGI/G/1における待ちについての近似公式」の内容検討（６）」「（７）」「（８）」で見てきました。このことは式(6)もまたＤ／Ｍ／１やE2／Ｍ／１の時には（そしてもちろんＭ／Ｍ／１の時にも）精度がよいのに、 $c_a^2=2$ や $c_a^2=3$ のH2／Ｍ／１の場合には精度が悪いことを意味します。ところが式(6)はPageの式を前提にして導かれるので、このことはPageの式自体がＤ／Ｍ／１やE2／Ｍ／１の時には（そしてもちろんＭ／Ｍ／１の時にも）精度がよいのに、 $c_a^2=2$ や $c_a^2=3$ のH2／Ｍ／１の場合には精度が悪いことを意味することになります。