同じ形の分布と倍率 - 工場統計力学（建設中！）

ある分布の確率密度関数が $f_1(t)$ であるとします。もうひとつ別の分布があってその確率密度関数を $f_2(t)$ で表すことにします。この時

$f_2(t)=\frac{1}{a}f_1\left(\frac{t}{a}\right)$ ・・・・(1)

という関係があるならば、 $f_1(t)$ と $f_2(t)$ は同じ形であると言うことにします。そして $a$ を倍率と呼ぶことにします。
まず、 $f_1(t)$ が規格化されているならば、すなわち

$\Bigint_0^{\infty}f_1(t)dt=1$ ・・・・(2)

ならば、[tex;f_2(t)]も規格化されていることを示します。

$\Bigint_0^{\infty}f_2(t)dt=\Bigint_0^{\infty}\frac{1}{a}f_1\left(\frac{t}{a}\right)dt$ ・・・・(3)

ここで

$\tau=\frac{t}{a}$ ・・・・(4)

と置くと

$\Bigint_0^{\infty}\frac{1}{a}f_1\left(\frac{t}{a}\right)dt=\Bigint_0^{\infty}f_1(\tau)d\tau=1$

よって

$\Bigint_0^{\infty}f_2(t)dt=1$ ・・・・(5)

となって、 $f_2(t)$ も規格化されていることが分かります。次に分布 $f_1(t)$ に従う確率変数を $X_1$ 、分布 $f_2(t)$ に従う確率変数を $X_2$ で表すことにします。 $X_1$ 、 $X_2$ の平均をそれぞれ $E(X_1)$ 、 $E(X_2)$ で表すことにします。すると

- $=aE(X_1)$

よって

$E(X_2)=aE(X_1)$ ・・・・(6)

となります。すなわち、 $X_2$ の平均は $X_1$ の平均に倍率をかけたものになります。次に $X_2$ の２乗平均 $E(X_2^2)$ を求めてみます。

- $=a^2E(X_1^2)$

よって

$E(X_2)=a^2E(X_1)$ ・・・・(7)

次に $X_2$ の分散 $V(X_2)$ を求めてみます。

$V(X_2)=E(X_2^2)-E(X_2)^2$ ・・・・(8)

式(6)(7)を式(8)に代入すれば

$V(X_2)=a^2E(X_1^2)-a^2E(X_1)^2=a^2V(X_1)$

よって

$V(X_2)=a^2V(X_1)$ ・・・・(9)

次に $X_2$ の標準偏差 $\sigma(X_2)$ は式(9)からただちに

$\sigma(X_2)=a\sigma(X_1)$ ・・・・(10)

となります。最後に $X_2$ の変動係数 $c(X_2)$ は式(10)と(6)を用いて

$c(X_2)=\frac{\sigma(X_2)}{E(X_2)}=\frac{a\sigma(X_1)}{aE(X_1)}=\frac{\sigma(X_1)}{E(X_1)}=c(X_1)$

よって

$c(X_2)=c(X_1)$ ・・・・(11)

よって２つの分布の形が同じである場合、その一方の平均は他方の平均に倍率をかけたものになり、変動係数は両者で同じになります。

また、式(1)によって分布 $f_1(t)$ を分布 $f_2(t)$ に変換することを、分布をa倍する、あるいは、分布をa倍に拡大する、と言い表すことにします。
あるＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列で、到着間隔分布と処理時間分布を同じ $a$ 倍、拡大してもその待ち行列の稼働率 $u$ は変わりません。これは平均到着間隔と平均処理時間が等しく $a$ 倍されることから明らかでしょう。