Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（１８）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

から入手出来ます。

3.　待ちの確率
　このセクションでは待ちの確率 $P(W>0)$ の近似を開発する。セクション3.1を $P(W>0)$ を $P(N{\ge}m)$ に関係付けることと、我々の $P(W>0)$ についての近似が対応する $P(N{\ge}m)$ の近似を生成するのに用いることが出来るかを示すことから始める。セクション3.2では基本戦略を説明し、 $GI/G/1$ モデルと $GI/M/s/0$ モデルの背景を与える。セクション3.3では $GI/M/m$ モデルにおける $P(W>0)$ の近似を開発し、セクション3.4ではそれを $GI/G/m$ に拡張する。正確な値との数値比較はセクション3.5で行う。
　待ちの確率についての私の近似は、SeelenとTijms (1984)によって提案された、客が待たなければならないとした場合の条件期待待ち時間、 $ED$ 、の近似と組み合わせることによって、期待待ち時間の新しい近似をもたらす。一方、私の２つの近似は $ED=EW/P(W>0)$ によって期待条件待ち時間のもうひとつの近似をもたらす。

3.1.　２つの関連する混雑尺度
　ここでは待ちの確率、 $P(W>0)$ 、つまり、（定常状態での）到着した客がサービスを始める前に待たなければならない確率、に注目する。これを、全てのサーバが任意の時刻にビジーである確率、 $P(N{\ge}m)$ 、対応する連続時間確率過程の定常状態確率と区別する。ポアソン到着は時間平均を見る（Wolff 1982）ので、 $M/G/m$ モデルではこれら２つの混雑尺度は一致するため、 $P(W>0)$ についての我々の近似は $P(N{\ge}m)$ についても同じように適用出来るが、非ポアソン到着過程についてはそうはいかない。そのほかの点では $P(W>0)$ に注目する。
　KraemerとLangenbach-Belz (1976)は $m=1$ の場合の $P(W>0)$ についての良い近似を開発した［Whitt 1983a, 公式(48)］。また $m=1$ の場合 $P(N{\ge}m)=\rho$ （正確）である。 $m=1$ 、 $m=10$ 、 $m=100$ の場合、 $P(W>0)/P(N{\ge}m)$ は $m$ の変化につれてそれほど変化しない（表１２）ので、以前開発された $m=1$ の場合の $P(W>0)$ についての近似は $m{\ge}1$ の場合の $GI/G/m$ モデルにおける比 $P(W>0)/P(N{\ge}m)$ の近似を導くことが出来る。よって、この比の近似を使って、 $P(W>0)$ についての私の近似は $GI/G/m$ における $P(N{\ge}m)$ の近似をもたらす。

表１２
Seelen、Tijms、van Hoorn (1985)によるいくつかの $GI/G/m$ 待ち行列についての比 $P(W>0)/P(N{\ge}m)$ の正確な値