Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２３）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

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3.5. 数値比較
　ここでこの待ち確率の近似を正確な値と比較する（表１４〜２２）。これらの数値比較は、新しい近似式(3.9)は際立ってよく機能することを示している。ざっと概観するために、 $m=4$ かつ $\rho=0.90$ という特殊な場合におけるいくつかの $GI/G/m$ モデルについて新しい近似と正確な値と比較した（表１４）。新しい近似は正確な $M/M/m$ 公式より明らかにずっとよいが、 $M/M/m$ 公式であっても大部分のケースで適切である。
　軽負荷において顕著な相対誤差がある。軽負荷における精度は大部分の応用においてそれほど主要な実践的な重要性がないので、 $\rho<0.50$ の場合はテストを行わず、私は軽負荷法を利用しようとしなかった。しかし、これは将来の研究において有望な方向であり続ける。軽負荷においてはパラメータ $c_a^2$ と $c_s^2$ で提供される部分的情報と整合が取れている正確な値の範囲は大きくて、部分的に指定するモデルにとって（相対誤差の判断尺度を用いた）正確な近似を不可能にする。Whitt (1984)の定理１と２によれば、 $GI/M/1$ モデルにおいて最大相対誤差は少なくとも $c_a^2/(1+c_a^2)\rho$ である。 $\rho=0.5$ かつ $c_a^2=1$ の時はそれは100%であり、 $\rho=0.1$ かつ $c_a^2=1$ の時は500%である。
　現実のシステムでの $\rho$ の典型的なレベルは $m$ が増加するとともに急速に増加する（Whitt 1992）。例えば、 $\rho=0.50$ である $M/M/20$ システムでの待ちの確率は無視出来る（0.0037）。 $\rho=0.90$ である $M/M/20$ システムは $\rho=0.70$ である $M/M/2$ システムよりも混雑が少ない。すなわち $\rho=0.90$ である $M/M/20$ システムでは $EW=0.28$ で $P(W>0)=0.55$ であるが、 $\rho=0.70$ である $M/M/2$ システムでは $EW=0.96$ で $P(W>0)=0.58$ である。
　 $M/M/m$ モデルにおける $P(W>0)$ について(2.10)のHalf-Whitt近似と(2.11)の正規近似［これは(3.11)の $\pi_6$ と一致する］と正確な値を比較する（表１３）。（ $m$ が大きくて $\rho$ が小さい場合を除いて）大部分の場合、Half-Whitt近似(2.10)は(3.11)の $\pi_4$ と $\pi_5$ の中の正確な $M/M/m$ 公式 $EW(M/M/m)$ に無理なく代入することが出来る。この目的で(2.10)をさらに改善することは難しくはないだろう。もちろん最終近似(3.9)は $M/M/m$ モデルについて正確な値を作り出す。
　次に近似値をKuihn (1976)によるさまざまな $GI/M/m$ モデルの、特に $D/M/m$ と $c_a^2=2.25$ でバランスのとれた平均をもつ $H_2/M/m$ の、正確な値と比較する（表１５と１６）。新しい近似(3.9)のほかに直接Half-Whitt近似(3.2)とLB率(3.4)と正規近似(3.5)を示す。(3.9)は $GI/M/m$ の場合(3.7)に一致する。新しい近似(3.9)は $m$ が大きくてかつ $\rho$ が小さい場合を除いてLB率に一致する。それらは $m{\ge}8$ かつ $\rho{\le}0.80$ の時と $m=100$ かつ $\rho=0.90$ の時のみ異なる（表１５）。これらの場合、新しい近似(3.9)はLB率(3.4)より明らかにずっとよい。
　私はすでにいくつかの $M/G/m$ の値について近似を正確な値と比較したが、表は省略した。これらの場合近似は、正確な $M/M/m$ の値(2.3)である。その結果は $M/M/m$ 公式は他の $M/G/m$ モデルについてのよい近似式であることを確かめている。

表１６
$c_a^2=2.25$ であるような $H_2/M/m$ モデル（バランスのとれた平均を持った超指数到着間隔時間分布）における待ち確率 $P(W>0)$ の近似とKuihn (1976)による正確な値の比較