Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２２）

原文は

Most Frequently Cited Papers (12/05): Ward Whitt's Home Page

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3.4.　一般 $GI/G/m$ モデル
$GI/M/m$ モデルについての近似式(3.7)を非指数サービス時間分布を持つ $GI/G/m$ モデルに拡張するための私の最初の考えは、サービス時間変動パラメータ $c_s^2$ と無関係にまったく同じ公式を用いることであった。これは、待ちの確率はサービス時間分布よりも到着間隔時間分布にずっと多く依存するという、 $M/G/m$ での経験に合った直感に基づいていた。しかし、若干さらに改善することが有益であることが分かった。
　私の２番目の考えは $GI/G/\infty$ のケースを利用することであった。そこでは一般サービス時間についての具体的な結果が存在する。特に、(3.6)における主要パラメータ $z$ は $c_a^2$ と $c_s^2$ の次の関数としてよく近似出来る。

$z\approx(c_a^2+c_s^2)/(1+c_s^2)$ ・・・・(3.8)

公式(3.8)は $c_a^2=1$ または $c_s^2=1$ の時には以前検討した $M/G/m$ と $GI/M/m$ の場合に帰着して正確になる。公式(3.8)は $c_s^2=0$ の時も正確である。
　公式(3.8)はHalf-Whitt近似(2.10)を $\beta$ を $(1+c_s^2)\beta/(c_a^2+c_s^2)$ で置き換えることによって拡張することを示唆している。そしてそれは $c_s^2=0$ の時に(3.2)に一致する。［しかしながら、(2.10)と(3.2)を支持する重負荷極限定理はこのヒューリスティック近似を支持するように拡張しない。］　同様に、(3.8)から私は(3.4)のLB率近似の分子に[tex:1-\Phi*1]を用いることを提案する。よって、正規近似(3.5)のための(3.6)の $z$ について $(c_a^2+c_s^2)/(1+c_s^2)$ を用いることを提案する。確かに、(3.7)の文脈で(3.5)の正規分布にこの改善を用いる。また、(3.2)の古いLB率と新しいLB率とで、新しいほうに $\rho^2$ で重みづけた凸結合を用いる。
　よって一般の部分的に指定された $GI/G/m$ モデルについての最終の新しい近似は、

$P(W(\rho,c_a^2,c_s^2,m)>0)\approx\min\{\pi,1\}$ ・・・・(3.9)

ただし

$\pi=\{\begin{array}\pi_1\text{ if m{\le}6 or \gamma{\le}0.5 or c_a^2{\ge}1}\\\pi_2\text{ if m{\ge}7 and \gamma{\ge}1.0 and c_a^2<1}\\\pi_3\text{ if m{\ge}7 and c_a^2<1 and 0.5<\gamma<1.0}\end{array}$ ・・・・(3.10)

であり

$\pi_1=\rho^2\pi_4+(1-\rho^2)\pi_5$

$\pi_2=c_a^2\pi_1+(1-c_a^2)\pi_6$

$\pi_3=2(1-c_a^2)(\gamma-0.5)\pi_2+(1-[2(1-c_a^2)(\gamma-0.5)])\pi_1$

[tex:\pi_4=\min\left\{1,\frac{1-\Phi*2}{1-\Phi((1-\rho)m^{1/2})}P(W(M/M/m)>0)\right\}]

$\pi_5=\min\left\{1,\frac{1-\Phi(2(1-\rho)m^{1/2}/(1+c_a^2))}{1-\Phi((1-\rho)m^{1/2})}P(W(M/M/m)>0)\right\}$

$\pi_6=1-\Phi((m-m\rho-0.5)/\sqrt{m\rho{z}})$ ・・・・(3.11)

$\gamma$ については(3.5)を用い $z$ には(3.8)を用いる。公式 $\pi_5$ は(3.4)の $GI/M/m$ モデルのLB率近似であり、一方 $\pi_4$ は上記(3.8)の $z$ に基づいたそれの修正である。
　将来の研究は(3.4)の形の近似式を目指すことになるだろう。ここではLB率の分子は $x=x(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ について $1-\Phi((1-\rho)\sqrt{m}x)$ である。(3.4)では $x~2/(1+c_a^2)$ である。このアイディアは累積正規分布関数の内部の関数 $x$ に(3.11)での $\pi_1$ 、 $\pi_2$ 、 $\pi_3$ の凸結合を組み込むことだろう。それはよりきれいな公式を作り出すのによいであろう。

*1:1+c_s^2)(1-\rho)m^{1/2}/(c_a^2+c_s^2

*2:1+c_s^2)(1-\rho)m^{1/2}/(c_a^2+c_s^2