Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３２）

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5.2.　２次モーメント特性
　私は２次モーメントの近似を開発するのに、比較的よく正当化されている近似平均値 $EQ$ と $EN$ に非常に頼っている。具体的には、

$\rm{Var}(Q)=c_Q^2(EQ)^2$ 、 $\rm{Var}(N)=c_N^2(EN)^2$

$E(Q^2)=\rm{Var}(Q)+(EQ)^2$ 、 $E(N^2)=\rm{Var}(N)+(EN)^2$ ・・・・(5.3)

とし、 $c_Q^2$ と $c_N^2$ の近似を開発することに集中する。
5.2.1.　待ち行列長 $Q$
　セクション4.1で条件待ち $D$ を導入したのと同じように、 $C$ を待ち行列が空でない条件での条件待ち行列長であるとする。つまり $C=(Q|Q>0)$ である。(4.4)と並行して、 $c_C^2$ と $c_Q^2$ は以下の関係にある。

$c_C^2=P(Q>0)c_Q^2-1+P(Q>0)$

$c_Q^2=(c_C^2+1-P(Q>0))/P(Q>0)$ ・・・・(5.4)

　(4.2)での $c_D^2$ と同じように、 $c_C^2$ を $M/G/m$ の公式で近似する。そしてやはり正確な関係式を以前の近似と組合わせる。具体的には、 $EW$ と $P(W>0)$ と $c_D^2$ を用いる。正確な $M/G/m$ の公式は

$E(Q^2)-EQ=\lambda^2E(W^2)$ ・・・・(5.5)

あるいは、これと等価であるが

$c_Q^2=(1/EQ)+c_W^2$ ・・・・(5.6)

である。Brumelle (1972)の定理４の系を参照。(5.5)あるいは(5.6)から

$c_C^2=\frac{1}{EC}-1+\frac{P(Q>0)}{P(W>0)}(c_D^2+1)$ ・・・・(5.7)

$c_C^2{\ge}0$ を要求するのは自然である。例えば、特殊な $M/M/m$ の場合、 $EC=(1-\rho)^{-1}$ 、 $c_D^2=1$ 、 $P(Q>0)/P(W>0)=\rho$ で(5.7)は $c_C^2=\rho$ をもたらす。(5.7)をパラメータ $(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ を持つ一般の $GI/G/m$ モデルに適用するために、 $c_C^2(\rho,c_a^2,c_s^2,m)=c_C^2(\rho,1,c_s^2,m)$ とする。ただし $c_C^2(\rho,1,c_s^2,m)$ は(5.7)によって与えられる。これは $c_D^2$ が(4.2)

$EC=P(Q>0)EQ=\lambda{P}(Q>0)EW$

によって与えられることを意味する。ただし、セクション5.1で与えられたように $EW=EW(M/M/m)(1+c_s^2)/2$ 、 $P(W>0)=P(W(M/M/m)>0)$ 、 $P(Q>0)=P(Q(\rho,1,c_s^2,m)>0)$ である。言い換えれば、 $c_C^2$ は全ての $GI/G/m$ システムについて対応する $M/G/m$ の公式によって与えられる。よって $c_Q^2$ は(5.4)によって与えられる。ただし今や $P(Q>0)=P(Q(\rho,c_a^2,c_s^2,m)>0)$ であり、 $c_a^2$ は $P(Q(\rho,c_a^2,c_s^2,m)>0)$ に影響を与えるが、 $c_C^2(\rho,c_a^2,c_s^2,m)$ には影響を与えない。
　最後に、(5.3)と(5.4)を組合わせることにより $E(Q^2)$ と $\rm{Var}(Q)$ を得る。同様に、

$E(C^2)=\rm{Var}(C)+(EC)^2$ 、 $\rm{Var}(C)=(EC)^2c_C^2$

$EC=\max\{1,(EQ)/P(Q>0)\}$ ・・・・(5.8)