P(Q>0)の推定（１）――ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の近似式（by Ward Whitt教授）へのメモ

さて、ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列においてシステム内ジョブ数が $k$ 個である定常状態確率を $p(k)$ で表した場合、 $k{\le}s$ の時の $p(k)$ の近似には「[k≦mの時のp(k)の推定（３）]」の式(11)（ここでは番号を振り直して式(1)とします）

$\frac{\alpha\Bigsum_{k=0}^{s-1}\alpha^k/k!}{\Bigsum_{k=0}^s\alpha^k/k!}=\frac{s[u-P(Q>0)]}{1-P(Q>0)}$ ・・・・(1)

を利用すればよかったのでした。そうすると今度は $P(Q>0)$ を求める必要がありますが、Whitt教授のこの論文では、

　 $P(Q>0)$ についての私の近似は、到着間隔時間 $U$ と待ち時間 $W$ の累積分布関数が与えられた条件での $P(Q>0)$ の正確な式に基づいている。具体的には

$P(Q>0)=\lambda{E}(\min\{U,W\})=\lambda\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(W{\ge}t)dt$

$=\lambda{P}(W>0)\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(D{\ge}t)dt$ ・・・・(5.1)

である。Brumelle (1972、定理２と３)は公式(5.1)は基本的な待ち行列の関係 $H=\lambda{G}$ から演繹出来ることを示した。
　２つのコンポーネントの累積分布関数 $P(U{\le}t)$ と $P(D{\le}t)$ を、最初の２つのモーメントをマッチさせることで得た指数分布を含む便利な累積分布関数で近似することによって(5.1)に適用する。私はWhitt (1983a、p.2805)で説明した、セクションでの $P(D{\le}t)$ についての手続きと本質的に同じ手続きに従う。計算を簡単にするために、ケース４では $0.01{\le}c^2<0.501$ の場合シフトした指数分布(Whitt 1982b、p.138)を用い、 $c^2<0.01$ の場合決定論的分布を用いる。５×５＝２５ケースの全てについて積分を簡単に実行することが出来、よって近似した分布のパラメータ $(\lambda,c_a^2)$ と $(ED,c_D^2)$ に関して $P(Q>0)$ の閉形式の式を得ることが出来る。
　 $E(Q|Q{\ge}1)=(EQ)/P(Q>0)$ が必然的に１以上なので、 $P(Q>0){\le}EQ$ でなければならない。 $EB=m\rho=mP(Q>0)+\Bigsum_{k=1}^mkP(N=k)$ なので $P(Q>0){\le}\rho$ 。よって、最終の近似公式では、(5.1)に基づく近似を $\min\{EQ,\rho,P(Q>0)\}$ で置き換える。

「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３１）」より