工場統計力学（建設中！）

k≦mの時のp(k)の推定（４）――ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似式（by Ward Whitt教授）へのメモ

待ち行列理論

「k≦mの時のp(k)の推定（３）」の式(11)

$\frac{\alpha\Bigsum_{k=0}^{s-1}\alpha^k/k!}{\Bigsum_{k=0}^s\alpha^k/k!}=\frac{s[u-P(Q>0)]}{1-P(Q>0)}$ ・・・・(11)

が正しいかどうか確認するためにＭ／Ｍ／ｓ待ち行列について式(11)を適用してみます。Ｍ／Ｍ／ｓでは

の場合
- $p(k)=\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(12)
の場合
- $p(k)=u^{k-s}\frac{(su)^s}{s!}p(0)$ ・・・・(13)

です。このうち式(12)が式(11)から求めることが出来ることを確認すればよいわけです。ただし

$p(0)=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(14)

です。まず、 $P(Q>0)$ を計算します。

$P(Q>0)=P(N{\ge}s+1)=\Bigsum_{k=s+1}^{\infty}p(k)$ ・・・・(15)

式(15)に式(13)を代入して

$P(Q>0)=\frac{(su)^s}{s!}p(0)\Bigsum_{k=s+1}^{\infty}u^{k-s}=\frac{(su)^s}{s!}p(0)\frac{u}{1-u}$

よって

$P(Q>0)=\frac{(su)^s}{s!(1-u)}up(0)$ ・・・・(16)

では、式(11)の右辺の分子

$s[u-P(Q>0)]$

に式(16)を代入します。

$s[u-P(Q>0)]=s\left[u-\frac{(su)^s}{s!(1-u)}up(0)\right]=su\left[1-\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)\right]$

ここで式(14)を変形して

$1=p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)$ ・・・・(17)

とします。これを用いると

$su\left[1-\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)\right]=su\left[p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)-\frac{(su)^s}{s!(1-u)}p(0)\right]=sup(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}$

よって分子は

$s[u-P(Q>0)]=sup(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}$ ・・・・(18)

となります。分母は、やはり式(16)(17)を用いると

- $=p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}(1-u)p(0)=p(0)\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!}p(0)$

よって分母は

$1-P(Q>0)=p(0)\Bigsum_{k=0}^{s}\frac{(su)^k}{k!}$ ・・・・(19)

よって式(11)の右辺は式(18)(19)より

$\frac{s[u-P(Q>0)]}{1-P(Q>0)}=\frac{su\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}}{\Bigsum_{k=0}^{s}\frac{(su)^k}{k!}}$ ・・・・(20)

よって式(11)は

$\frac{\alpha\Bigsum_{k=0}^{s-1}\alpha^k/k!}{\Bigsum_{k=0}^s\alpha^k/k!}=\frac{su\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}}{\Bigsum_{k=0}^{s}\frac{(su)^k}{k!}}$ ・・・・(21)

となります。ここから

$\alpha=su$ ・・・・(22)

であることが分かります。「k≦mの時のp(k)の推定（３）」の式(7)

$q(j)=\frac{\alpha^j}{j!}$ ・・・・(7)

に式(22)を代入して

$q(j)=\frac{(su)^j}{j!}$ ・・・・(23)

「k≦mの時のp(k)の推定（３）」の式(9)

$p(k)\approx\frac{q(k)}{\Bigsum_{j=0}^sq(j)}[1-P(Q>0)]$ ・・・・(9)

に式(23)と(19)を代入して

$p(k)\approx\frac{\frac{(su)^k}{k!}}{\Bigsum_{j=0}^s\frac{(su)^j}{j!}}p(0)\Bigsum_{j=0}^{s}\frac{(su)^j}{j!}$

よって

$p(k)\approx\frac{(su)^k}{k!}p(0)$

となって式(12)と一致します。これで式(12)が式(11)から求めることが出来ました。