P(Q>0)の推定（２）――ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の近似式（by Ward Whitt教授）へのメモ

待ち行列理論

次に

  • \lambda{E}(\min\{U,W\})=\lambda\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(W{\ge}t)dt・・・・(5)

になることを示します。これはつまり

  • E(\min\{U,W\})=\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(W{\ge}t)dt・・・・(6)

であることを示せばよいわけです。
まず確率変数Zを

  • Z=\min\{U,W\}・・・・(7)

と定義します。「min(X,Y)の確率密度関数」式(1)から

となります。ところで

なので式(8)は

となります。確率変数Zの確率密度関数f(t)は

  • [tex:f(t)=\frac{dP(Z

ですから、

  • [tex:E(\min\{U,W\})=\Bigint_0^{\infty}tf(t)dt=\Bigint_0^{\infty}t\frac{dP(Z
    • [tex:=\Bigint_0^{\infty}t\frac{d(P(Z

よって

  • [tex:E(\min\{U,W\})=\[t(P(Z

となります。ここでt=0では[tex:t(P(Z

となります。よって式(11)は

  • [tex:E(\min\{U,W\})=-\Bigint_0^{\infty}P(Z

となります。式(12)に式(9)を代入すると

  • E(\min\{U,W\})=-\Bigint_0^{\infty}(-1)P(U{\ge}t)P(W{\ge}t)

となるので式(6)が成り立つことが分かります。


次に論文に登場する式は

  • \lambda\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(W{\ge}t)dt=\lambda{P}(W>0)\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(D{\ge}t)dt

ですが、これは

  • P(W{\ge}t)=P(W>0)P(D{\ge}t)

なので、成り立つことが簡単に分かります。