P(Q>0)の推定（３）――ＧＩ／Ｇ／ｓ待ち行列の近似式（by Ward Whitt教授）へのメモ

これで論文の以下の箇所は理解出来るものになりました。

　 $P(Q>0)$ についての私の近似は、到着間隔時間 $U$ と待ち時間 $W$ の累積分布関数が与えられた条件での $P(Q>0)$ の正確な式に基づいている。具体的には

$P(Q>0)=\lambda{E}(\min\{U,W\})=\lambda\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(W{\ge}t)dt$

$=\lambda{P}(W>0)\Bigint_0^{\infty}P(U{\ge}t)P(D{\ge}t)dt$ ・・・・(5.1)

である。Brumelle (1972、定理２と３)は公式(5.1)は基本的な待ち行列の関係 $H=\lambda{G}$ から演繹出来ることを示した。

「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３１）」より

さて、到着間隔時間を表す確率変数 $U$ の累積分布関数は、この待ち行列システムへの条件として与えられることでしょう。あるいは累積分布関数が与えられないにしても、その平均と２乗変動係数は与えられることでしょう。平均と２乗変動係数を与えられたとしてそれにマッチする分布を推定する必要があります。これについてはこの論文のセクション4.1では少ししか説明されていません。Ward Whitt教授のＱＮＡの論文にはもっと詳しく説明されています。（「Word Whitt: The Queueing Network Analyzer（１４）」参照。）　ここで述べられている方法は２乗変動係数 $c^2$ が１より小さい場合は２つの指数分布の畳み込みで近似し、 $c^2$ が１より大きい場合は、バランスのとれた平均を持つ超指数分布で近似する、という方法です。
しかし待ち時間 $W$ の分布は既知ではありません。待ち時間の平均 $E(W)$ は（これがこの論文の主題です）すでに近似式が与えられているので、それを用いて求めることが出来ます。待ち時間の２乗変動係数は別の式によって求める必要があります。これについては、待ち時間の２乗変動係数を直接求めるより、条件待ち時間 $D$ （つまり $W>0$ の場合のみの待ち時間）の２乗変動係数 $c_D^2$ を求めるほうが容易だということです。そして、 $D$ の変動係数を求める近似式はこの論文のセクション4.1にあります。

$c_D^2=2\rho-1+4(1-\rho)d_s^3/3(c_s^2+1)^2$ ・・・・(4.2)

「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２７）」より

次は、なぜこの式が成り立つのかを調べる必要があります。それは後のエントリで行うことにして、今まで述べてきたことは論文の以下の部分の補足になっていることを記しておきます。

　２つのコンポーネントの累積分布関数 $P(U{\le}t)$ と $P(D{\le}t)$ を、最初の２つのモーメントをマッチさせることで得た指数分布を含む便利な累積分布関数で近似することによって(5.1)に適用する。私はWhitt (1983a、p.2805)で説明した、セクション4.1での $P(D{\le}t)$ についての手続きと本質的に同じ手続きに従う。計算を簡単にするために、ケース４では $0.01{\le}c^2<0.501$ の場合シフトした指数分布(Whitt 1982b、p.138)を用い、 $c^2<0.01$ の場合決定論的分布を用いる。５×５＝２５ケースの全てについて積分を簡単に実行することが出来、よって近似した分布のパラメータ $(\lambda,c_a^2)$ と $(ED,c_D^2)$ に関して $P(Q>0)$ の閉形式の式を得ることが出来る。

「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（３１）」より

さて、

$c_D^2=2\rho-1+4(1-\rho)d_s^3/3(c_s^2+1)^2$ ・・・・(4.2)

のほうですが、これについてはこの論文のセクション4.1にこのように書かれています。

公式(4.2)は $M/G/1$ モデルについては正確な公式であり、Hokstad (1978)が提案したように、 $M/G/m$ モデルについての近似式として用いられる。次に $c_d^2$ を $M/G/m$ モデルと同様に $GI/G/m$ モデルについての近似として用いる。この考えは条件待ち時間は到着間隔時間分布よりもサービス時間分布にずっと依存するはずだ、というものである。SeelenとTijims (1984)はこの近似方針についてさらに支持を与えた。

「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２７）」より

つまりこの式は $M/G/1$ 待ち行列について正確な式であり、それをまず $M/G/m$ でも近似式として成り立つとし（この拡張を正当化する理由はこの論文には述べられていません）、それをさらに「条件待ち時間は到着間隔時間分布よりもサービス時間分布にずっと依存する」から $GI/G/m$ 待ち行列にも用いることが出来る、としたのでした。では、まず式(4.2)が $M/G/1$ 待ち行列で正確な式として成り立つことを示さなければなりません。そのためにこのあとしばらくは $M/G/1$ 待ち行列について従来より深く検討を進めていきます。