Ｍ／Ｇ／ｓの定常状態の待ちジョブ数分布について

「Ｍ／Ｇ／ｍの定常状態のジョブ数分布について」と同じように考えると、Ｍ／Ｇ／ｓ待ち行列の定常状態の待ちジョブ数分布について

「待ちジョブ数の分布（時間平均）」＝「到着時の待ちジョブ数の分布」＝「処理開始時の待ちジョブ数の分布」

が成り立つことが分かりました。ここで定常状態においてシステム内にジョブが $k$ 個ある確率を $p(k)$ で表し、待ち行列内にジョブが $k$ 個ある確率を $q(k)$ で表すことにします。すると

$q(k)=p(k+s)$ ・・・・(1)

の関係になることは明らかです。

まず、到着間隔が指数分布なので、ＰＡＳＴＡが適用出来、定常状態では

「待ちジョブ数の分布（時間平均）」＝「到着時の待ちジョブ数の分布」

になります。ただし到着時の場合（上の式の右辺）は、到着するジョブ自身はシステム内のジョブ数に数えません。

ジョブが処理開始になる時刻は、そのジョブが待ち行列から出て行く時刻です。処理開始時に待ち行列内のジョブ数が $N$ → $N-1$ に変化したとすれば、定常状態である限り、それ以前のどこかの時点でジョブ到着によりシステム内のジョブ数が $N$ → $N+1$ に増加したことがあったはずです。よって、 $N$ → $N-1$ の過程と $N$ → $N+1$ の過程は対になっているはずです。とすれば、あるジョブの到着時点で、待ち行列内のジョブ数が $N$ であったとすれば、それに対になったジョブの処理開始時点で待ち行列内のジョブ数が $N$ であるはずです（処理開始になるジョブはジョブ数に数えません）。このように考えれば、

「到着時の待ちジョブ数の分布」＝「処理開始時の待ちジョブ数の分布」

となるはずです。よって

「待ちジョブ数の分布（時間平均）」＝「到着時の待ちジョブ数の分布」＝「処理開始時の待ちジョブ数の分布」

が成り立つことになります。