工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｇ／１待ち行列の条件待ち時間の変動係数

待ち行列理論

「Ｍ／Ｇ／１待ち行列の待ち時間の２乗平均」の式(13)（ここでは番号を振り直して式(1)とします）

$E(W^2)=\frac{{\lambda}E(S^3)}{3(1-u)}+2E(W)^2$ ・・・・(1)

から「Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」の翻訳（２７）」に登場する公式(4.2)（ここでは番号を振り直して式(2)とします）

$c_D^2=2\rho-1+4(1-\rho)d_s^3/3(c_s^2+1)^2$ ・・・・(2)

を導くことが出来ます。

まず

$\lambda=\frac{u}{E(S)}$ ・・・・(3)

なので、これを式(1)に代入して

$E(W^2)=\frac{uE(S^3)}{3(1-u)E(S)}+2E(W)^2$ ・・・・(4)

また、式(2)に登場する $d_s^3$ はその定義から

$d_s^3=\frac{E(S^3)}{E(S)^3}$ ・・・・(5)

なので、

$E(S^3)=d_s^3E(S)^3$ ・・・・(6)

これを式(4)に代入して

$E(W^2)=\frac{ud_s^3}{3(1-u)}E(S)^2+2E(W)^2$ ・・・・(7)

さらに $D$ の定義、つまり $D$ は装置が処理中の時の $W$ である、という定義、つまり

$D=(W|W>0)$ ・・・・(8)

から

$E(W)=E(D)P(W>0)$ ・・・・(9)
$E(W^2)=E(D^2)P(W>0)$ ・・・・(10)

また、ポアソン到着なのでPASTAを適用できるため

$P(W>0)=u$ ・・・・(11)

なので式(9)(10)は

$E(W)=E(D)u$ ・・・・(12)
$E(W^2)=E(D^2)u$ ・・・・(13)

式(12)(13)を式(7)に代入すると

$E(D^2)u=\frac{ud_s^3}{3(1-u)}E(S)^2+2E(D)^2u^2$

よって

$E(D^2)=\frac{d_s^3}{3(1-u)}E(S)^2+2E(D)^2u$
$E(D^2)-E(D)^2=\frac{d_s^3}{3(1-u)}E(S)^2+2E(D)^2u-E(D)^2=\frac{d_s^3}{3(1-u)}E(S^2)+(2u-1)E(D)^2$
$V(D)=\frac{d_s^3}{3(1-u)}E(S^2)+(2u-1)E(D)^2$
$c_D^2=\frac{d_s^3}{3(1-u)}\frac{E(S)^2}{E(D)^2}+2u-1$
$c_D^2=\frac{d_s^3}{3(1-u)}\frac{u^2E(S)^2}{E(W)^2}+2u-1$ ・・・・(14)

ここでＭ／Ｇ／１の時の待ち時間の式

$E(W)=\left(\frac{1+c_s^2}{2}\right)\frac{u}{1-u}E(S)$ ・・・・(15)

を式(14)に代入すれば

- $=\frac{d_s^3}{3}\frac{4}{(1+c_s^2)^2}(1-u)+2u-1=\frac{4d_s^3(1-u)}{3(1+c_s^2)^2}+2u-1$
- $=2u-1+\frac{4(1-u)d_s^3}{3(1+c_s^2)^2}$

よって

$c_D^2=2u-1+\frac{4(1-u)d_s^3}{3(1+c_s^2)^2}$ ・・・・(16)

Whitt教授の「Approxomations for the GI/G/m queue」では装置の稼働率 $u$ は記号 $\rho$ で書かれているので式(16)の $u$ を $\rho$ で置き換えると式(2)になります。