Word Whitt教授の「ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似」による待ち確率の近似式

待ち行列理論

「Word Whitt教授の「ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似」による待ち時間の近似式」の続きです。
次に待ち確率\Pi(GI/G/s)の近似式ですが、Word Whitt教授の「ＧＩ／Ｇ／ｍ待ち行列の近似（Approximations for the GI/G/m queue)」の結論を私が普段使っている表記法で改めて書き直すと以下のようになります。

  • \Pi(GI/G/s)\approx\min\{\pi,1\}・・・・(11)

たたし

  • s{\le}6またはc_a^2{\ge}1または\gamma{\le}0.5の場合
    • \pi=\pi_1・・・・(12)
  • s{\ge}7かつc_a^2>1かつ\gamma>0.5の場合はさらに２つに場合分けして
    • 0.5<\gamma<1.0の場合
      • \pi=\pi_3・・・・(13)
    • \gamma{\ge}1.0の場合
      • \pi=\pi_2・・・・(14)

であり、さらに

    • \pi_1=u^2\pi_4+(1-u^2)\pi_5・・・・(15)
    • \pi_2=c_a^2\pi_1+(1-c_a^2)\pi_6・・・・(16)
    • \pi_3=2(1-c_a^2)(\gamma-0.5)\pi_2+\left(1-\left[2(1-c_a^2)(\gamma-0.5)\right]\right)\pi_1・・・・(17)
    • \gamma=\frac{s-su-0.5}{suz}・・・・(18)
  • であり、さらに
      • \pi_4=\min\left\{1,\frac{1-\Phi\left((1+c_e^2)(1-u)s^{1/2}/(c_a^2+c_e^2)\right)}{1-\Phi\left((1-u)u^{1/2}\right)}P\left(W(M/M/m)>0\right)\right\}・・・・(19)
      • \pi_5=\min\left\{1,\frac{1-\Phi\left(2(1-u)s^{1/2}/(1+c_a^2)\right)}{1-\Phi\left((1-u)s^{1/2}\right)}P\left(W(M/M/m)>0\right)\right\}・・・・(20)
      • \pi_6=1-\Phi\left((s-su-0.5)/\sqrt{suz}\right)・・・・(21)
    • であり、さらに
        • z=\frac{c_a^2+c_e^2}{1+c_e^2}・・・・(22)
    • また、\Phi(\cdot)は累積標準正規分布関数です。