待ち確率の近似式（１） - 工場統計力学（建設中！）

「平均待ち行列長の近似式の精度比較（７）」において、平均待ち行列長の近似式と待ち確率の近似式が密接に関係することが判明したので、ここで「当面の目標」の２番目の目標である待ち確率 $\Pi(GI/G/s)$ の近似式を探求することを始めようと思います。

「平均待ち行列長の近似式の精度比較（７）」では $GI/M/s$ 待ち行列について

$\Pi(GI/M/s)=u^{\sqrt{2(s+1)}-2}b$ ・・・・(27)

ただし、

の時
- $b=\frac{u[u+(2-u)c_a^2]}{2(1-u)+u[u+(2-u)c_a^2]}$ ・・・・(22)
の時
- $b=\frac{u(c_a^2+1)}{2(1-u)+u(c_a^2+1)}$ ・・・・(23)

を導き出しましたが、これはあくまで装置の処理時間の分布が指数分布の場合の式です。 $GI/G/s$ の時に上の式がそのまま成り立つとは限りません。式(27)を $GI/G/s$ の場合に拡張することを考えます。まず、 $M/M/s$ の場合を考えます。するとこれは $GI/M/s$ の場合の１つですから、式(27)を適用出来て

$\Pi(M/M/s)=u^{\sqrt{2(s+1)}-2}b$ ・・・・(28)

となります。さらに式(22)で $c_a=1$ とすることにより

$b=\frac{u[u+(2-u)]}{2(1-u)+u[u+(2-u)]}=\frac{2u}{2(1-u)+2u}=\frac{2u}{2}=u$

となるので

$b=u$ ・・・・(29)

よって式(28)は

$\Pi(M/M/s)=u^{\sqrt{2(s+1)}-1}$ ・・・・(30)

となります。一方、 $M/G/s$ において

$\Pi(M/G/s)=\Pi(M/M/s)$ ・・・・(31)

は非常に精度の高い近似でした。よって、

$\Pi(M/G/s)=u^{\sqrt{2(s+1)}-1}$ ・・・・(32)

となります。今のところ、 $GI/M/s$ と $M/G/s$ について $\Pi$ の近似値が明らかになった訳です。これらを拡張して $GI/G/s$ の $\Pi$ の近似式を求められないでしょうか？
最初に考えつくことは、式(27)(22)(23)をそのまま使う方法です。これらの式を $M/G/s$ に当てはめると、 $M/G/s$ では $c_a=1$ なので式(22)に $c_a=1$ を代入すると

$b=\frac{u[u+(2-u)]}{2(1-u)+u[u+(2-u)]}=\frac{2u}{2(1-u)+2u}=\frac{2u}{2}=u$

よって

$b=u$ ・・・・(33)

これを式(27)に代入すると、式(32)に一致します。

しかし、この近似式は $D/D/s$ の時に精度が大きく悪くなります。 $D/D/s$ の場合、つまり $c_a=0$ 、 $c_e=0$ の場合は明らかに

$\Pi(D/D/s)=0$ ・・・・(34)

ですが、式(27)(22)(23)からはそうはなりません。 $GI/M/s$ の時には式(27)(22)(23)であり、 $M/G/s$ の時には式(32)であり、 $D/D/s$ の時には式(34)であるような $GI/G/s$ のための $\Pi$ の近似式をどう想定すればよいでしょうか？　ひとつの案は

$\Pi(GI/G/s)=u^{\sqrt{2(s+1)}-2}b\frac{2(c_a^2+c_e^2)}{(1+c_a^2)(1+c_e^2)}$ ・・・・(35)

とすることです。ただし $b$ は今まで通り式(22)(23)で与えられるとします。式(34)の中の

$\frac{2(c_a^2+c_e^2)}{(1+c_a^2)(1+c_e^2)}$ ・・・・(36)

は、 $c_e=1$ ならば

$\frac{2(c_a^2+1)}{(1+c_a^2)(1+1)}=1$

となりますし、同様に $c_a=1$ でも1になります。さらに $c_a=0$ かつ $c_e=0$ で0になります。よって式(35)は $GI/M/s$ の時には式(27)(22)(23)に等しくなり、 $M/G/s$ の時には式(32)に等しくなり、 $D/D/s$ の時には式(34)に等しくなります。もちろん、式(36)の部分は、(36)の代わりに(37)

$\frac{2(c_a+c_e)}{(1+c_a)(1+c_e)}$ ・・・・(37)

であっても同じですが、今まで $c_a$ や $c_e$ は必ず $c_a^2$ や $c_e^2$ の形で式に登場するので式(36)の形を採用しました。