工場統計力学（建設中！）

平均待ち行列長の近似式の精度比較（８）

待ち行列理論

さて、「平均待ち行列長の近似式の精度比較（７）」では

$s$ が大きいときに $L_q(GI/M/s)$ の精度が低下する理由は $\Pi(GI/M/s)$ の近似方法にあることになります。ということで、 $s$ が大きい時の $GI/M/s$ 待ち行列の平均待ち行列長の近似式の精度を向上させる問題は、「当面の目標」に書いたもうひとつの目標である「待ち確率（ジョブ到着時にジョブが待たなければならない確率） $\Pi$ を近似する」ことに連動してきます。おそらく事情はもっと一般化した待ち行列である $GI/G/s$ 待ち行列についても同様でしょう。

と書きました。そして「平均待ち行列長の近似式の精度比較（４）」では式(12)

$L_q(GI/M/s)=\frac{\Pi(GI/M/s)}{\Pi(GI/M/1)}L_q(GI/M/1)$ ・・・・(12)

を示しました。今、「待ち確率の近似式（１３）」に示すように $\Pi(GI/G/s)$ のより精度の高い近似法を見つけたわけですから、これを式(12)に当てはめることで $L_q(GI/M/s)$ についてのよりよい近似式を得ることが出来そうです。これを試みてみましょう。

「待ち確率の近似式（１３）」によれば

$\Pi(GI/G/s)=\frac{b}{2}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(49)

でした。よって $GI/M/s$ 待ち行列にとっても

$\Pi(GI/M/s)=\frac{b}{2}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(50)

となります。さらに「待ち確率の近似式（１３）」に示すように式(49)に $s=1$ を代入することにより

$\Pi(GI/G/1)=b$ ・・・・(51)

を得ることが出来るので $GI/M/s$ 待ち行列にとっても

$\Pi(GI/M/1)=b$ ・・・・(52)

となります。また、 $L_q(GI/M/1)$ については「平均待ち行列長の近似式の精度比較（１）」の式(8)(9)

の時
- $L_q(GI/G/s)=\frac{c_a^2+c_e^2(u+(1-u)c_a^2)}{2}\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{1-u}$ ・・・・(8)
の時
- $L_q(GI/G/s)=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{1-u}$ ・・・・(9)

に $s=1$ と $c_e=1$ を代入した式

の時
- $L_q(GI/M/1)=\frac{c_a^2+(u+(1-u)c_a^2)}{2}\frac{u^2}{1-u}$ ・・・・(53)
の時
- $L_q(GI/M/s)=\frac{c_a^2+1}{2}\frac{u^2}{1-u}$ ・・・・(54)

を用いることにすると（つまり、 $s=1$ の時には(53)(54)の精度が良かったので）

の時
- $L_q(GI/M/s)=\frac{c_a^2+(u+(1-u)c_a^2)}{2}\frac{u^2}{2(1-u)}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(55)
の時
- $L_q(GI/M/s)=\frac{c_a^2+1}{2}\frac{u^2}{2(1-u)}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(56)

となります。