平均待ち行列長の近似式の精度比較（９） - 工場統計力学（建設中！）

さて、「平均待ち行列長の近似式の精度比較（８）」で求めた新しい $L_q(GI/M/s)$ の近似式

の時
- $L_q(GI/M/s)=\frac{c_a^2+(u+(1-u)c_a^2)}{2}\frac{u^2}{2(1-u)}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(55)
の時
- $L_q(GI/M/s)=\frac{c_a^2+1}{2}\frac{u^2}{2(1-u)}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(56)

を $GI/G/s$ の場合に拡張するにはどうしたらよいでしょうか？
私は今のところあまり根拠を持ち合わせていないのですが、「平均待ち行列長の近似式の精度比較（４）」の式(12)

をそのまま $GI/G/s$ に拡張して

が近似的に成り立つと仮定するのがよいと思います。そこに「待ち確率の近似式（１３）」の式(49)

$\Pi(GI/G/s)=\frac{b}{2}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(49)

と式(50)

$\Pi(GI/M/s)=\frac{b}{2}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(50)

を代入すると

$L_q(GI/G/s)=L_q(GI/G/1)\times\frac{1}{2}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(58)

の時
- $L_q(GI/G/s)=\frac{c_a^2+c_e^2(u+(1-u)c_a^2)}{2}\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{1-u}$ ・・・・(8)
の時
- $L_q(GI/G/s)=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{1-u}$ ・・・・(9)

は $s=1$ の場合には精度がよかったのでこれらに $s=1$ を代入すると

となります。式(59)(60)を式(58)に代入することで式(8)(9)より精度のよい近似式を得ることが期待出来ます。この代入をすると

の時
- $L_q(GI/G/s)=\frac{c_a^2+c_e^2(u+(1-u)c_a^2)}{2}\frac{u^2}{2(1-u)}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(61)
の時
- $L_q(GI/G/s)=\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\frac{u^2}{2(1-u)}\left[u^{\sqrt{2(s+1)}-2}+b^{\sqrt{2(s+1)}-2}\right]$ ・・・・(62)

が得られます。