ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（１）

「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率と平均待ち行列長の近似式」で求めた平均待ち行列長 $L_q$ を用いて、任意の時点で待ち行列システムにジョブが $k$ 個ある確率 $p(k)$ の近似を求めることを検討します。

ここで、 $k{\ge}s$ の時、

・・・・(1)
- ただし $g$ は定数

が近似的に成り立つと仮定します。この仮定の妥当性についてはのちに述べます（「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（６）」参照）。ここでは(1)を認めるとします。すると

の時
- $p(k)=g^{k-s}p(s)$ ・・・・(2)

が成り立ちます。
一方、平均待ち行列長 $L_q$ はその定義から

$L_q=\Bigsum_{k=s+1}^{\infty}(k-s)p(k)$ ・・・・(3)

となります。式(3)に(2)を代入して

$L_q=\Bigsum_{k=s+1}^{\infty}(k-s)g^{k-s}p(s)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}kg^kp(s)$

よって

$L_q=p(s)\Bigsum_{k=1}^{\infty}kg^k$ ・・・・(4)

式(4)の右辺の中にある $\Bigsum_{k=1}^{\infty}kg^k$ については「補足」の式(2)（ここでは番号を振り直して式(5)とし、使用する記号も若干変更します）

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kg^{k-1}=\frac{1}{(1-g)^2}$ ・・・・(5)

を用いると

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kg^k=g\Bigsum_{k=1}^{\infty}kg^{k-1}$

なので

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}kg^k=\frac{g}{(1-g)^2}$ ・・・・(6)

よって式(4)に式(6)を代入して

$L_q=p(s)\frac{g}{(1-g)^2}$ ・・・・(7)

となります。 $L_q$ の近似値は「ＧＩ／Ｇ／ｓの待ち確率と平均待ち行列長の近似式」の式(5)(6)ですでに分かっていますから、あと $p(s)$ が分かれば $g$ の値を求めることが出来、それを式(2)に代入することによって $k{\ge}s$ の場合の $p(k)$ の近似値を求めることが出来ます。
次に $p(s)$ の近似値を求めることを考えます。