ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（２）

待ち行列理論

「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（１）」の続きです。
次に、待ち行列ＧＩ／Ｇ／ｓの時間平均での全ての装置がビジーである確率\Omega(GI/G/s)はその定義から

  • \Omega(GI/G/s)=\Bigsum_{k=s}^{\infty}p(k)・・・・(8)

です。式(8)の右辺に「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（１）」の式(2)

  • k{\ge}sの時
    • p(k)=g^{k-s}p(s)・・・・(2)

を代入すると

  • \Omega(GI/G/s)=\Bigsum_{k=s}^{\infty}g^{k-s}p(s)=p(s)\Bigsum_{k=s}^{\infty}g^{k-s}=p(s)\Bigsum_{k=0}^{\infty}g^k=p(s)\frac{1}{1-g}

よって

  • \Omega(GI/G/s)=p(s)\frac{1}{1-g}

よって

  • p(s)=(1-g)\Omega(GI/G/s)・・・・(9)

この式(9)を「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（１）」の式(7)

  • L_q=p(s)\frac{g}{(1-g)^2}・・・・(7)

に代入すると

  • L_q=(1-g)\Omega(GI/G/s)\frac{g}{(1-g)^2}
  • L_q=\Omega(GI/G/s)\frac{g}{1-g}
  • \frac{L_q}{\Omega(GI/G/s)}=\frac{g}{1-g}
  • \frac{\Omega(GI/G/s)}{L_q}=\frac{1-g}{g}
  • \frac{\Omega(GI/G/s)}{L_q}=\frac{1}{g}-1
  • \frac{\Omega(GI/G/s)}{L_q}+1=\frac{1}{g}
  • \frac{\Omega(GI/G/s)+L_q}{L_q}=\frac{1}{g}

よって

  • g=\frac{L_q}{\Omega(GI/G/s)+L_q}・・・・(10)