Ｍ／Ｍ／∞について（２） - 工場統計力学（建設中！）

「Ｍ／Ｍ／∞について（１）」の続きです。
Ｍ／Ｍ／ｓ待ち行列について[tex:k

状態 $k$ である確率を $p(k)$ で表すと、上の図から

$p(k+1)\frac{k+1}{t_e}=p(k)\frac{su}{t_e}$ ・・・・(1)

が成り立つことが分かります。式(1)を変形すると

$p(k+1)=\frac{su}{k+1}p(k)$ ・・・・(2)

となります。式(2)から $0{\le}k{\le}s$ の場合

$p(k)=\frac{(su)^k}{k!}p(0)$ ・・・・(3)

が成り立つことが分かります。式(3)は任意の $s$ 、 $0{\le}k{\le}s$ であるような任意の $k$ について成り立ちます。そこで $s$ を無限大に近づけても式(3)が成り立つことが分かります。しかし $s\rightar\infty$ で式(2)が意味のある値になるためには $su$ が有限の値である必要があります。ということは、 $u\rightar{0}$ でないと式(2)が意味を持ちません。そこで

$\alpha=su$ ・・・・(4)

とおいて、 $\alpha$ が有限になるように $s\rightar\infty$ 、 $u\rightar{0}$ にします。式(4)を式(3)に代入して

$p(k)=\frac{\alpha^k}{k!}p(0)$ ・・・・(5)

これで、Ｍ／Ｍ／∞の時の $p(k)$ が「Ｍ／Ｍ／∞について（１）」の式(20)（ここでは番号を振り直して式(6)とします。）

$p(k)=A\frac{\alpha^k}{k!}$ ・・・・(6)

形を持つことが分かりました。

しかし、待ち行列理論のウェブや本を調べていくとＭ／Ｇ／∞の時も $p(k)$ が式(5)のようになるということが書かれています。つまり、到着分布がポアソン分布でありさえすれば、処理時間の分布がどのようなものであっても $p(k)$ は式(5)の形になるとのことです。これはなぜでしょうか？　次は、Ｍ／Ｇ／∞待ち行列のジョブ数の分布 $p(k)$ について考察します。