Ｍ／Ｍ／∞について（１） - 工場統計力学（建設中！）

「ＧＩ／Ｇ／ｓのジョブ数の確率分布の近似式（４）」で

さて、Ｍ／Ｍ／ｓの時、[tex:0{\le}k

$p(k)=A\frac{(su)^k}{k!}$ ・・・・(19)

ただし $A$ は定数

の形をしている（「Ｍ／Ｍ／ｍにおける待ち時間の式の導出（２）」の式(10)参照）ことや、Ｍ／Ｇ／∞の時の $p(k)$ がやはり式(19)の形をしていることから、ＧＩ／Ｇ／ｓも式(15)の形の式で近似できると仮定します。

と書きましたが、あとで考えるとこれは不正確な記述であると気付きました。どこが不正確であるかというと「Ｍ／Ｇ／∞の時の $p(k)$ がやはり式(19)の形をしている」というところです。Ｍ／Ｇ／∞であるということはつまり $s\rightar\infty$ なので式(19)の $s$ は無限大になります。そこで式(19)が意味を持つためには $su$ が有限でなければなりません。そこで、 $su=\alpha$ とおいて

$p(k)=A\frac{\alpha^k}{k!}$ ・・・・(20)

の形について、「Ｍ／Ｇ／∞の時の $p(k)$ がやはり式(20)の形をしている」と書く方が正確な書き方でした。この場合

$su=\alpha$

で $s\rightar\infty$ なので、 $\alpha$ が有限であるためには $u\rightar{0}$ でなければなりません。つまり、式(20)は $u\rightar{0}$ の時にＭ／Ｍ／∞で成り立つ式です。では、Ｍ／Ｍ／∞の場合に、式(20)が成り立つわけをこれから書いてみようと思います。