【論文翻訳】M/D/s待ち行列の根とErlang、Crommelin、Pollaczekの業績に戻る（５）

$|z|{\le}1$ で $A(z)$ がゼロを持たなければならないと仮定すると、 $|z|{\le}1$ で $z^s=A(z)$ の $s$ 個の根は
$z=wA^{1/s}(z)$ 、 $w^s=1$ 　　　　　(13)
を満足することが知られている。実現可能な全ての $w$ について、式(13)は $|z|{\le}1$ 内の唯一の根を持つことを示すことが出来、初期値 $z_k^{(0)}$ から始めて連続する代入
$z_k^{(n+1)}=w_kA^{1/s}\left(z_k^{(n)}\right)$ , $k=$ 0, 1,…, (14)
によって方程式を解こうとすることが出来る。
補題 3.4　 $|z|{\le}1$ について $A(z)$ にゼロがなく $\left|\frac{d}{dz}A^{1/s}(z)\right|<1$ の時、不動点方程式(14)は期待する根に収束する。

　
(14)の配列の収束に必要な条件は以下のように公式化出来る。

条件 3.5　条件3.2を満足し、 $z\in{S}_{A,s}$ の全ての点について $\left|\frac{d}{dz}A^{1/s}(z)\right|<1$ が成立する。

条件3.2は条件3.5よりずっと弱く、よって(12)は(14)より大きな $A$ のクラスについて適用可能である。それにもかかわらず、 $A(z)=\exp\left(\lambda(z-1)\right)$ について、配列
$z_k^{(n+1)}=w_k\exp\left\{\rho\left(z_k^{(n)}-1\right)\right\}$ 、 $k=$ 0,1,…, $s-1$ , 　　　　(15)
が初期値 $z_k^{(0)}=0$ で始めて期待する根に収束するためには、 $|z|{\le}1$ について $A(z)\neq{0}$ かつ $\left|\frac{d}{dz}A^{1/s}(z)\right|<1$ 、であることはすぐに見られる。図１に $\rho=$ 0.1, 0.5, 1.0についての $S_{A,s}$ を示す。曲線上のドッドは $s=20$ の場合について(12)または(15)のいずれかから決定出来る根 $z_k$ を示している。