【論文翻訳】M/D/s待ち行列の根とErlang、Crommelin、Pollaczekの業績に戻る（６）

3.1　分かりやすい例
二項分布の場合 $A(z)=(p+qz)^n$ 、ただし $p$ , $q{\le}0$ , $p+q=1$ で[tex:A'(1)=nq2(\sqrt{2}-1)]を越えて増加すると、ゼロを含む滑らかなジョルダン曲線から２つの別々の閉曲線に変わり、(12)はもはや成立しない。
これが定理3.7の実例である。 $S_{A,s}$ を調べると、図２で $S_{A,s}$ が0について星型ではないことが分かり、よって条件3.5が満足されておらず、そのため根を決定するのに繰り返し(14)を適用することが出来ないことがすぐに分かる。
$\sigma{\ge}1$ の場合、 $z=1$ で
$\max_{z\in{S_{A,s}}}\left|\frac{d}{dz}A^{1/z}(z)\right|=\max_{z\in{S_{A,s}}}\left|\sigma{q}(p+qz)^{\sigma-1}\right|$
が発生し、 $\sigma{q}<1$ に等しい（？）ことを我々は知っている（？）。 $\sigma\in(0,1)$ の場合、条件3.5は
$p^{\sigma-1}q(1+\sigma)^{1-\sigma}\sigma^{\sigma}<1$ 　　　　　(18)
の時のみ成立することを示すことが出来る。
今、 $q_1(\sigma)$ と $q_2(\sigma)$ によってそれぞれ(17)と(18)が成立するような $q$ の上限を示すことにする。これらの値 $q_1(\sigma)$ と $q_2(\sigma)$ を図３に $\sigma\in[0,1]$ の関数としてプロットした。

図３： $\sigma\in(0,1)$ における $q_1(\sigma)$ と $q_2(\sigma)$

(16)が成立する $q$ （[tex:q