【論文翻訳】M/D/s待ち行列の根とErlang、Crommelin、Pollaczekの業績に戻る（９）

確かにPollaczek 1931 式(45)は $\beta<2\sqrt{\pi}$ の時に成り立つ式
$P\left(M_{\beta}=0\right)=\sqrt{2}\beta\exp\left\{\Bigsum_{r=0}^\infty\frac{(2r)!(2\pi)^{-r-\frac{1}{2}}\sin\left(\frac{r\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\zeta\left(\frac{1}{2}+r\right)}{2^{2r-1}(r!)^2(2r+1)}\left(\frac{\beta}{\sqrt{2}}\right)^{2r+1}\right\}$
を与えている。 $\zeta$ についてのRiemannの関係と若干の書き換えは
$P\left(M_{\beta}=0\right)=\sqrt{2}\beta\exp\left\{\frac{\beta}{\sqrt{2\pi}}\Bigsum_{r=0}^{\infty}\frac{\zeta\left(\frac{1}{2}-r\right)}{2r+1}\left(\frac{-\beta^2}{2}\right)^r\right\}$ , $\beta<2\sqrt{\pi}$ 　　　　　　(26)
をもたらす。この形での結果はChangとReres 1997 Thm. 1.1のp.788によって導かれた。(26)の３番目の証明はJanssenとLeeuwaarden (2007b,a)によって、 $M_{\beta}$ のキュムラントについての類似の式と全ての $\beta>0$ で成り立つ解析接続の導出とともに示された。式(26)は特に小さな値の $\beta$ について有用である。その場合それは $0<\beta{\le}\sqrt{2/\pi}$ の時に成り立つ境界
$P\left(M_{\beta}=0\right){\le}2\sqrt{1-e^{-\beta^2/2}}\exp\left\{-\frac{\beta}{\sqrt{\pi}}+\frac{1}{8}\beta^2\right\}$ ,
$P\left(M_{\beta}=0\right){\ge}2\sqrt{1-e^{-\beta^2/2}}\exp\left\{-\frac{3\beta}{2\sqrt{\pi}}+\frac{1}{8}\beta^2-\frac{\beta^3}{9\sqrt{2\pi}}\right\}$
によって補足出来る。また、小さな $\beta$ と大きなシステムについて、 $D(s,\lambda)\approx\sqrt{2}\beta$ であることが分かり、よって $D(s,\lambda)=q\in(0,1)$ であるようなサーバの数は近似的に
$s\approx\lambda+\frac{q}{\sqrt{2}}\sqrt{\lambda}$
である。
ガウシアンランダムウォークはM/D/s待ち行列長過程の極限過程であるので、 $P\left(M_{\beta}=0\right)$ は重負荷の場合（ $s=\lambda+\beta\sqrt{\lambda}$ で $\lambda,s\rightar\infty$ の場合）の $D(s,\lambda)$ の近似の役割をはたす。しかし現実のシステムでは $\lambda$ と $s$ は有限なので $D(s,\lambda)$ のよりよい近似を構築するために重負荷極限 $P\left(M_{\beta}=0\right)$ の改良を見つけることは興味がある。これらの改造はJanssen他(2007)で得られた以下の結果から出てくる。

定理 5.2
$-\in{P}\left(Q_{\lambda}=0\right)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Bigsum_{k=0}^{\infty}p_ks^{-k+1/2}G_{-(k+1)}\left(\alpha/\sqrt{s}\right)$ ,　　　　　　(27)
ただし
$G_k(a)=\Bigsum_{l=1}^{\infty}l^{k+1/2}\Bigint_a^{\infty}e^{-\frac{1}{2}lsx^2}y'(x)dx$ ,
$p(n)=\frac{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi{n}}}{n!}\approx1-\frac{1}{12n}+{1}{288n^2}+...=\Bigsum_{k=0}^{\infty}\frac{p_k}{n_k}$ , $n\rightar\infty$
であり、 $y$ は $-y-\ln(1-y)=\frac{1}{2}x^2$ の解として非明示的に定義される。

(27)における展開はよい近似を提供し、大部分の場合、１つの項は正確な結果を得るのに十分であり、
$P\left(Q_{\lambda}=0\right)\approx\exp\left\{-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{2\pi}}G_{-1}\left(\alpha/\sqrt{s}\right)\right\}$ 　　　　　　(28)
である。Janssen他(2007)で我々は $y$ がべき級数表現 $y(x)=\Bigsum_{n=1}^{\infty}a_nx^n$ 、 $|x|<2\sqrt{\pi}$ で
$a_1=1$ , $a_2=-\frac{1}{3}$ , $a_3=\frac{1}{36}$ , $a_4=\frac{1}{270}$ , $a_5=\frac{1}{4320}$ ,
を許容することを示した。(4)と(7)から
$-\ln{D}(s,\lambda)=-\ln{P}\left(Q_{\lambda}=0\right)+\Bigsum_{l=1}^\infty\frac{1}{l}e^{-l\lambda}\frac{(l\lambda)^{ls}}{(ls)!}$
であることが分かる。(28)を $y'(x)\approx1-\frac{2}{3}x$ と(29)と組み合わせるこことにより近似
$D(s,\lambda)\approx{P}\left(M_{\alpha}=0\right)\cdot\exp\left\{\frac{-1}{3\sqrt{2\pi{s}}}\Bigsum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l^{3/2}}e^{-\frac{1}{2}\alpha^2l}\right\}$
が得られる。このタイプの他の多くの結果が、Riemannのゼータ関数を含む項での関数 $G_k$ の級数展開とともにJanssen他(2007)で導かれた。