【論文翻訳】M/D/s待ち行列の根とErlang、Crommelin、Pollaczekの業績に戻る（１０）

A　セクション４での結果の証明
A.1　(19)の証明
Janssen他(2007)、定理１では、
$-\ln{P}(Q=0)=\Bigsum_{l=1}^{\infty}\frac{p(ls)}{l}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Bigint_{\alpha\sqrt{l}}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}x^2}y'(x/\sqrt{ls})dx$ 　　　　　　(30)
が証明されている。ただし $\alpha$ は(20)でのものと同じであり $y$ は $-y=\ln(1-y)=\frac{1}{2}x^2$ , $x\in{\bold{C}}$ の解として非明示的に定義される。複雑なため(30)の導出を付録A.3で手短に繰り返している。Janssen他(2007)、補題16から、
$y(x)=1-\Bigsum_{m=1}^{\infty}\frac{m^{m-1}}{m!e^m}e^{-\frac{1}{2}mx^2}$ ,　　　　　　 $|\arg(x)|{\le}\pi/4$ ,
を得る。これから
$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\Bigint_{\alpha\sqrt{l}}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}x^2}y'(x/\sqrt{ls})dx=\frac{\sqrt{ls}}{\sqrt{2\pi}}\Bigint_{\alpha/\sqrt{s}}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}lsx^2}y'(x)dx$
　　　　 $=\frac{\sqrt{ls}}{\sqrt{2\pi}}\Bigsum_{m=1}^{\infty}\frac{m^me^{-\frac{1}{2}(m+ls)x^2/s}}{m!e^m(m+ls)}=\frac{\sqrt{ls}}{\sqrt{2\pi}}\frac{e^{-mx^2/2s}}{m+ls}$ 　　　　　　(31)
を見出す。(31)を(29)と $e^{-l\lambda}\frac{(l\lambda)^{ls}}{(ls)!}=\frac{p(ls)}{\sqrt{2\pi{ls}}}e^{-l\alpha^2/2}$ を組み合わせることにより証明は完了する。

A.2　(22)の証明
(19)は以下のように書き換えることが出来る。
$-\ln{D}(s,\lambda)=\frac{1}{2\pi}\Bigsum_{l=1}^{\infty}\frac{1}{l}\Bigsum_{m=0}^{\infty}p(ls)p(m)\sqrt{\frac{ls}{m}}\frac{e^{-\frac{1}{2}(m+ls)x^2/s}}{m+ls}$ 　　　　(32)
ここで
$\frac{1}{2\pi}p(ls)p(m)\sqrt{\frac{ls}{m}}=\frac{(ls)^{ls+1}m^me^{-m-ls}}{(ls)!m!}$
と
$e^{-\frac{1}{2}(m+ls)\alpha^2/s}$
を用いて(32)から項を配置し直して結果を得る。

A.3　(30)の証明
$n=0,1,$ ...について、
$s_n(z)=\Bigsum_{k=0}^n\frac{z^k}{k!}$ , $z\in\bold{C}$
と置く。 $\rho=\lambda/s$ と $n=ls$ （よって $\lambda{l}=n\rho$ ）と
$q(\xi)=e^{l-\xi}\xi$ , $\xi\in\bold{C}$
を用いてSzego, 1922 p.50（あるいはAbramowitzとStegun, 1970, 6.5.13のp.262）から
$\Bigsum_{j=n+1}^{\infty}e^{-l\lambda}\frac{(l\lambda)^j}{j!}=1-e^{-\lambda{l}}s_n(\lambda{l})=\frac{n^{n+1}e^{-n}}{n!}\Bigsum_0^{\rho}q^n(\xi)d\xi$
を得る。この関係をもちいて(4)を以下のように書き換えることが出来る。
$-\ln{P}(Q=0)=s^{1/2}\Bigsum_{l=1}^{\infty}\frac{p(ls)}{\sqrt{2\pi{l}}}\Bigint_0^{\rho}q^{ls}(\xi)d\xi$ 　　　　　　(33)
ただし $p(n)$ は定理4.1で定義したものである。次に等式
$f(y):=\ln{q}(1-y)=\frac{1}{2}x^2$ , $x\in\bold{C}$ 　　　　　　(34)
で $y$ を解くべきものとして考察する。
$f(y)=\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{3}y^3+\frac{1}{4}y^4+...$ ,
であることに注意する。その結果、 $x=0$ 付近で解析的であり、 $x\rightar{0}$ で $y(x)=x+O\left(x^2\right)$ を満足するような解 $y(x)$ が存在する。さらに $y$ が0から1に増加するのにつれて $f$ が0から∞に増加するので、 $y(x)$ が0から∞に増加し、任意の $x{\ge}0$ について(34)の非負の解 $y=y(x)$ が存在することが分かる。さらに(20)での $\alpha$ を用いると、 $q^{ls}(\rho)=e^{-\frac{1}{2}\alpha^2l}$ と
$\Bigint_0^{\rho}q^{ls}(\xi)d\xi=\frac{1}{\sqrt{ls}}\Bigint_{\alpha\sqrt{l}}^{\infty}e^{-\frac{1}{2}x^2}y'\left(x/\sqrt{ls}\right)dx$ 　　　　　　(35)
が成り立つ。(35)を(33)に代入して(30)を得る。