GI/G/s待ち行列の平均待ち行列長の近似式（３）

この近似式

$L_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2}{2}L_q(M/M/s)$ ・・・・(11)

は、そこそこの精度があることが分かりましたが、 $L_q(M/M/s)$ を計算する必要があります。そして $L_q(M/M/s)$ は「GI/G/s待ち行列の平均待ち行列長の近似式（１）」の式(3)(4)で示したように

$L_q(M/M/s)=\frac{s^su^{s+1}}{s!(1-u)^2}p_0$ ・・・・(3)
ただし
- $p_0=\frac{1}{\Bigsum_{k=0}^{s-1}\frac{(su)^k}{k!}+\frac{(su)^s}{s!(1-u)}}$ ・・・・(4)

で計算します。ところでこの式(4)は $s$ が大きくなると $\Bigsum$ のところの計算が面倒です。そこで、精度は少し犠牲になるのですが $L_q(M/M/s)$ を近似的に求める簡便な方法があります。その近似式は逆瀬川氏が提案したもので（An approximation formula $L_q\simeq\alpha\cdot\rho^{\beta}/(1-\rho)$ Hirotaka Sakasegawa (1977)　http://www.ism.ac.jp/editsec/aism/pdf/029_1_0067.pdf　参照）

$L_q(M/M/s)\approx\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{1-u}$ ・・・・(24)

というものです。これを用いれば式(11)よりも若干精度は落ちるものの計算がより簡単な以下の近似式を得ることが出来ます。

$L_q\approx\frac{c_a^2+c_e^2}{2}\cdot\frac{u^{\sqrt{2(s+1)}}}{1-u}$ ・・・・(25)

実務上はGI/G/s待ち行列の平均待ち行列長の近似式として式(25)を用いたほうが実用的だと思います。

さて、逆瀬川氏の $L_q(M/M/s)$ に関する近似式がどのようにして得られたのか、上述のAn approximation formula $L_q\simeq\alpha\cdot\rho^{\beta}/(1-\rho)$ Hirotaka Sakasegawa (1977)に基づいてご紹介します。
まず、

$L_q(M/M/1)=\frac{u^2}{1-u}$ ・・・・(26)

がよく知られています。ここからの類推で

$L_q(M/M/s)=\frac{u^\beta}{1-u}$ ・・・・(27)

の形で近似できると推定します。ただし $\beta$ は $s$ の関数であるとします。この $\beta$ を求めるためにまず $s$ をある値に固定し、 $u$ を0.8から0.01刻みで0.9まで変化させて $L_q$ を式(3)(4)で計算した場合と式(27)で計算した場合の差を求めます。それを２乗して $u$ の値の全てについての（つまり0.8から0.01刻みで0.9までの値についての）和を取ります。そしてそれが最小になるような $\beta$ の値を求めます。これを $\hat{\beta}$ で表します。このようにしてさまざまな $s$ の値に対して $\hat{\beta}$ の値を求めることが出来ます。その結果が下記の表です。