バッチ装置の待ち行列の解析（３） - 工場統計力学（建設中！）

$CT_q=\frac{t_e}{4u}+\frac{\frac{c_a^2}{2}+c_e^2}{2}\frac{u}{1-u}t_e$ ・・・・(6)

をｎジョブのバッチの場合に拡張することを検討します。装置は１台に限定します。バッチ構成ルールは

ジョブがｎ個そろうまで装置が空いていても処理を開始しない。処理は必ずｎジョブで行う。

です。このバッチ構成ルールで運用されるバッチ装置でのジョブの装置待ち時間は「[バッチ装置の待ち行列の解析（１）」の時と同様に、到着したジョブをｎ個そろえる処理と、ｎ個そろってバッチになったジョブを装置の待ち行列に入れる処理（装置が空いていれば即、装置で処理を開始する処理）、の２つに分けて考えることが出来ます。

図５

最初のバッチを構成する処理では、ジョブがｎ個溜まらないと次の待ち行列に進みません。ということはジョブの到着順を数えてｎ番目毎にバッチが待ち行列に到着することになります。

図６

バッチが構成された時点に到着したジョブをジョブ０とします。ジョブ０はバッチ内で最後に到着したジョブになります。次に到着するジョブをジョブ１とし、その次をジョブ２、その次のジョブ３・・・としてジョブｎまで考えます。ジョブｎが到着することによって次のバッチが完成します。

ジョブ０とジョブ１の到着間隔を $T_a(1)$ 、
ジョブ１とジョブ２の到着間隔を $T_a(2)$ 、
・・・・
ジョブｎ−１とジョブｎの到着間隔を $T_a(n)$ 、

と表わすことにします。ジョブ１は

$\Bigsum_{k=2}^nT_a(k)$ ・・・・(7)

だけ待ちます。 $T_a(k)$ は到着間隔なので変動します。その平均は $k$ の値に関わらず $t_a$ です。従って式(1)の平均待ち時間は $(n-1)t_a$ になります。同様に考えて、

ジョブ２の平均待ち時間は $(n-2)t_a$
ジョブ３の平均待ち時間は $(n-3)t_a$
・・・・
ジョブｎ−１の平均待ち時間は $t_a$
ジョブｎの平均待ち時間はゼロ

となります。ジョブ１からジョブｎまで平均をとれば、ジョブ全体でのバッチ構成平均待ち時間になります。バッチ構成平均待ち時間を $CT_{q2}$ で表わすと

$CT_{q2}=\frac{n-1}{2}t_a$ ・・・・(8)

となります。

次に、バッチが装置の待ち行列に投入される処理について考えると、まずバッチの到着の間隔は図６から考えると

$\Bigsum_{k=1}^nT_a(k)$ ・・・・(9)

となります。これは変動する値です。これの平均を考えると $nt_a$ になります。つまりバッチの平均到着間隔は $nt_a$ です。次にバッチの到着の間隔の標準偏差は「独立な確率変数の和の分散」を参考にして考えればジョブの到着間隔 $T_a(k)$ の標準偏差の $\sqrt{n}$ 倍になることが分かります。ここでジョブの到着間隔の標準偏差を $\sigma_a$ で表わせば、バッチの到着間隔の標準偏差は $\sqrt{n}\sigma_a$ となります。次にバッチの到着の間隔の変動係数は標準偏差を平均で割ったものですから、