バッチ装置の待ち行列の解析（４） - 工場統計力学（建設中！）

次に

装置が空いている時に１ジョブ到着した場合は、１ジョブで処理を開始する。処理が完了した時に１ジョブしか待っていない場合は、１ジョブで処理を開始する。処理が完了した時に２ジョブ以上ある場合は、２ジョブで処理を開始する。

というバッチ構成ルールの場合、ジョブの平均待ち時間と装置稼働率の関係はどうなるか考察します。まだ、この考察をｎジョブバッチの場合に拡張するところまで出来ていません。今は、２ジョブで１バッチの装置の場合のみを考えます。さらに、この考察は到着がポアソン到着、装置の処理時間の分布が指数分布の場合のみの考察です。他の場合は難しいのでこの場合の考察を最初に進めました。

さて、最初に考えなければならないのは稼働率をどう定義するかです。この装置の場合、１ジョブでも２ジョブでも稼働します。まったく装置の空き時間がなく、常に１ジョブで処理をしている場合、それは稼働率１００％でしょうか、それとも最大２ジョブで処理出来るので、この装置の稼働率は５０％でしょうか？　これはどちらが正しいかの問題ではなくて、どう定義するかの問題ですが、ここでは後者を採用します。そして装置の空き時間には関係なく、稼働率 $u$ を「バッチ装置の待ち行列の解析（１）」の式(2)

$u=\frac{t_e}{2t_a}$ ・・・・(2)

で定義することにします。 $u$ はゼロから１まで変動する値になります。

次に状態を定義します。状態は、処理中かどうか（処理中の場合、１ジョブでの処理なのか２ジョブでの処理なのかは区別しない）と、待ちジョブ数で区別します。のちの数式を書き易くするために状態を以下の数で示します。

待ちジョブ数が０の場合
- 装置が空いていれば
  - ０
- 装置が処理中ならば
  - １
待ちジョブ数が１以上の場合
- 待ちジョブ数＋1

装置が処理中の場合、それが１ジョブでの処理なのか２ジョブでの処理なのかを区別しない理由は、そのほうが状態遷移図が簡単になるからです。状態を表わす数字とそれが表わす状態の関係を図７に示します。

図７

次に状態遷移図を書いていきます。まず、任意の時間間隔 $dt$ の間にジョブが１つ到着して状態０から状態１になる確率は、ポアソン到着なので

$\frac{1}{t_a}dt$ ・・・・(14)

となります。任意の時間間隔 $dt$ の間に装置の処理が終了して状態１から状態０になる確率は、指数分布なので

$\frac{1}{t_e}dt$ ・・・・(15)

になります。装置が１ジョブを処理していても２ジョブを同時に処理していても式(15)が成り立つことに注意して下さい。ここで式(14)に「バッチ装置の待ち行列の解析（１）」の式(5)

$t_a=\frac{t_e}{2u}$ ・・・・(5)

を適用するとジョブが１つ到着して状態０から状態１になる確率は

$\frac{2u}{t_e}dt$ ・・・・(16)

になります。式(15)と式(16)の関係を図８に示します。

図８

ただし図８では、 $dt$ を省略しています。次に状態１を中心に考えると、任意の時間間隔 $dt$ の間にジョブが１つ到着して状態１から状態２になる確率はやはり式(16)になり、任意の時間間隔 $dt$ の間に装置の処理が終了して状態２から状態１になる確率はやはり式(15)になります。しかし、状態１が遷移先になるような遷移はこれだけではなく状態３から状態１への遷移もあります。それは図９のような遷移です。