工場統計力学（建設中！）

バッチ装置の待ち行列の解析（１６）

工場運用

バッチサイズ３ジョブの時の定常状態確率 $p(k)$ が

$p(0)=\frac{1-au}{1+(3-a)u}$ ・・・・(110)
$p(k)=\frac{3u(1-au)}{1+(3-a)u}(au)^{k-1}$ 　　 $k{\ge}1$ ・・・・(111)
ただしは
- $u^2a^3+ua^2+a-3=0$ ・・・・(107)
- の解

と求まったので、次は $L_q(M/M/1;u)$ の計算に進みます。

$L_q(M/M/1;u)=\Bigsum_{k=1}^{\infty}(k-1)p(k)$ ・・・・(41)

（「バッチ装置の待ち行列の解析（６）」参照）です。式(41)の右辺は

- $=\frac{3u(1-au)}{1+(3-a)u}\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^k=\frac{3u(1-au)}{1+(3-a)u}au\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^{k-1}$

となりますので

$L_q(M/M/1;u)=\frac{3u(1-au)}{1+(3-a)u}au\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^{k-1}$ ・・・・(112)

です。式(112)の右辺の中の

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^{k-1}$

は「補足」を参考にすれば

$\Bigsum_{k=1}^{\infty}k(au)^{k-1}=\frac{1}{(1-au)^2}$

であることが分かるので、式(112)の右辺は

- $=\frac{3au^2}{[1+(3-a)u](1-au)}$

よって

$L_q(M/M/1;u)=\frac{3au^2}{[1+(3-a)u](1-au)}$ ・・・・(113)

これで平均待ち行列長 $L_q(M/M/1;u)$ を求めることが出来ました。

次にリトルの法則を考えることにします。スループットは $3u/t_e$ なので、リトルの法則は

$L_q(M/M/1;u)=CT_q(M/M/1;u,t_e)\times\frac{3u}{t_e}$ ・・・・(114)

と書けます。ここから

$CT_q(M/M/1;u,t_e)=L_q(M/M/1;u)\frac{t_e}{3u}$ ・・・・(115)

式(115)に(113)を代入して

$CT_q(M/M/1;u,t_e)=\frac{au}{[1+(3-a)u](1-au)}t_e$ ・・・・(116)

これでM/M/1の場合の平均待ち時間を求めることが出来ました。この式と「バッチ装置の待ち行列の解析（１４）」の式(101)

$CT_q(GI/G/1;c_a,c_e,u)\approx\frac{c_a^2+nc_e^2}{n+1}CT_q(M/M/1;u)$ ・・・・(101)

から $n=3$ の時のGI/G/1の場合の平均待ち時間の近似式は

$CT_q(GI/G/1;c_a,c_e,u)\approx\frac{c_a^2+3c_e^2}{4}\frac{au}{[1+(3-a)u](1-au)}t_e$ ・・・・(117)
ただしは
- $u^2a^3+ua^2+a-3=0$ ・・・・(107)
- の解

となります。

今までの考察はバッチサイズを $n$ にした場合に容易に拡張出来ます。定常状態確率 $p(k)$ は

$p(0)=\frac{1-au}{1+(n-a)u}$ ・・・・(118)
$p(k)=\frac{nu(1-au)}{1+(n-a)u}(au)^{k-1}$ 　　 $k{\ge}1$ ・・・・(119)

となります。ただし $a$ が満たすべき方程式は

$\Bigsum_{k=1}^nu^{k-1}a^k-n=0$ ・・・・(120)

です。さらに

$L_q(M/M/1;u)=\frac{nau^2}{[1+(n-a)u](1-au)}$ ・・・・(121)

となり

$CT_q(M/M/1;u,t_e)=\frac{au}{[1+(n-a)u](1-au)}t_e$ ・・・・(122)

となります。式(101)に式(122)を代入して

$CT_q(GI/G/1;c_a,c_e,u)\approx\frac{c_a^2+nc_e^2}{n+1}\frac{au}{[1+(n-a)u](1-au)}t_e$ ・・・・(123)

となります。