バッチ装置の待ち行列の解析（１８） - 工場統計力学（建設中！）

「バッチ装置の待ち行列の解析（７）」で求めたバッチサイズ２ジョブの「なりゆきバッチルール」のM/M/1の装置の占有率 $u_{oc1}$ をバッチサイズ $n$ ジョブの場合に拡張しておきます。「バッチ装置の待ち行列の解析（７）」の式(47)

$u_{oc1}=1-p(0)$ ・・・・(47)

はバッチサイズ $n$ ジョブの場合にも成り立ちます。 $p(0)$ は「[バッチ装置の待ち行列の解析（１６）]」の式(118)

$p(0)=\frac{1-au}{1+(n-a)u}$ ・・・・(118)

で求まっています。ただし $a$ は

$\Bigsum_{k=1}^nu^{k-1}a^k-n=0$ ・・・・(120)

の解です。よって式(47)と(118)から

$u_{oc1}=\frac{nu}{1+(n-a)u}$ ・・・・(125)

となります。さらに「バッチ装置の待ち行列の解析（８）」で求めた１回の処理で処理するジョブ数の平均値（処理時平均処理ジョブ数） $B_1$ もバッチサイズ $n$ ジョブの場合に拡張しておきます。まず

$B_1u_{oc1}=nu$ ・・・・(126)

が成り立ちます。よって

$B_1=\frac{nu}{u_{oc1}}$

この右辺に式(125)を代入して

$B_1=1+(n-a)u$ ・・・・(127)

となります。式(125)(127)を用いて $n=6$ の場合（バッチサイズ６ジョブの場合）の $u_{oc1}$ と $B_1$ の稼働率 $u$ との関係をグラフ化してみます。なお「バッチ装置の待ち行列の解析（１３）」で行なったD/D/1の場合の考察もバッチサイズ６ジョブの場合に拡張した結果も併せて示しました。

グラフ７

グラフ８

稼働率が低いところでは「なりゆきバッチルール」では１ジョブで処理することになりますが、装置としては一度に６ジョブまで処理できるので、この場合の余分な稼働率はバッチサイズ２ジョブの場合よりかなり多くなります。