Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列（２） - 工場統計力学（建設中！）

さて、次に考えたのは、Ｍ／Ｅ2／１／１待ち行列、つまりサービス時間の分布が２次のアーラン分布（ $E_2$ ）の場合です。

図３

アーラン分布は「アーラン分布」で述べたように同一の指数分布を持つ互いに独立な $k$ 個の確率変数の和の分布とみなすことが出来ます。ですから２次のアーラン分布は同一の指数分布を持つ互いに独立な２個の確率変数の和の分布とみなすことが出来ます。よって、平均サービス時間 $t_e$ の２次のアーラン分布は、平均サービス時間 $t_e/2$ の指数分布が２つ並んだものになります。最初の指数分布にいる時をフェーズ１(Ph1)、２番目の指数分布にいる時をフェーズ２(Ph2)、と呼ぶことにします。２次のアーラン分布はフェーズ１とフェーズ２を含めた全体の分布ということになります。これを状態遷移図で書くと図３のようになります。

図４

よって、 $M/E_2/1/1$ 待ち行列の状態遷移図は図４のようになります。ここで状態「１：１」はジョブがシステム内に１個でサービスのフェーズが１、「１：２」はジョブがシステム内に１個でサービスのフェーズが２、の状態を示します。状態「０」はシステム内にジョブがいない状態（サーバが空いている状態）です。状態「１：１」から状態「１：２」への遷移と、状態「１：２」から状態「０」への遷移の確率は、各フェーズの平均サービス時間が $2/t_e$ なので（「Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列（１）」の図２と同じ書き方をすると）「２」になります。

ここから平衡方程式を作ると

$up(0)=2p(1:1)$ ・・・・(6)
$2p(1:1)=2p(1:2)$ ・・・・(7)

となります。ただし $p(1:1)$ は状態「１：１」の定常状態確率、 $p(1:2)$ は状態「１：２」の定常状態確率を表わします。状態１（システムにジョブが１個ある状態）の定常状態確率 $p(1)$ は

$p(1)=p(1:1)+p(1:2)$ ・・・・(8)

で求めることが出来ます。式(7)(8)から

$p(1)=2p(1:1)$ ・・・・(9)

式(6)(9)から

$up(0)=p(1)$ ・・・・(10)

になります。これは、Ｍ／Ｍ／１／１待ち行列の時の式である式(2)（「Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列（１）」参照）とまったく同じ式になっています。従って、 $M/E_2/1/1$ の場合も定常状態確率はＭ／Ｍ／１／１の場合と同じ定常状態確率（「Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列（１）」の式(4)(5)）になることが分かります。

このことが分かったときには私には驚きでした。

次に私が考えたのは $M/E_3/1/1$ 待ち行列ではどうなるだろうか、ということです。