Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列（３）

次に私が考えたのは、ひょっとしてＭ／Ｇ／１／１の定常状態確率はサービス時間の分布（Ｇ）に依存しないのではないか、ということです。もし、それが本当ならば、どうやってそれを証明できるでしょうか？
そこで考えたのは次のようなことでした。まず、到着間隔分布が指数分布なのでPASTAが成り立ちます。ということはジョブが到着した時、Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列にジョブがゼロ個である確率は、定常状態確率と同じになります。次に、このシステムにジョブが到着するのは単位時間あたり

• 

なので、状態０から状態１への遷移が発生する単位時間あたりの回数は

• ・・・・(13)

となります。定常状態では、状態０から状態１への遷移が単位時間あたりに発生する回数の平均は、状態１から状態０への遷移が単位時間あたりに発生する回数の平均と等しくなければなりません。状態０→状態１への遷移が発生してから平均で時間の間に状態１→状態０の遷移が起こることを考慮すれば、状態１から状態０への遷移が単位時間あたりに発生する回数の平均は、

• ・・・・(14)

となります。定常状態では式(13)と(14)が等しくなければなりませんから

• 

よって

• ・・・・(15)

が成り立ちます。これで、Ｍ／Ｇ／１／１の時に式(15)が成り立つことが証明出来ました。そして同時に、Ｍ／Ｇ／１／１の定常状態確率はサービス時間の分布に依存しないことも証明出来ました。このことは、Ｍ／Ｇ／１／１待ち行列の定常状態確率を計算するにはＭ／Ｍ／１／１待ち行列の定常状態確率を計算すれば充分であることを意味しています。上記の証明では、状態１→状態０への遷移の、単位時間あたりの回数を計算する際に、状態１になってからジョブのサービスが終了するまでの間に（つまりその時間の平均がなのですが）システム内のジョブ数がさらに増えないことがミソになっています。もし、Ｍ／Ｇ／１／１ではなくてＭ／Ｇ／１待ち行列であれば、ジョブのサービスが終了するまでの間に別のジョブが到着して状態１→状態２の遷移が起こるかもしれません。その場合は、状態１が発生してから平均の間に状態１→状態０の遷移が１回発生するとは言えませんので、式(14)は成り立ちません。

では到着間隔分布がＭでなく一般（Ｇ）の場合に式(15)は成り立つでしょうか？　残念ながら到着間隔分布が指数分布以外の場合は、PASTAが成り立たないので式(13)が成り立たなくなります。従って、式(15)も成り立ちません。