工場統計力学（建設中！）

Ｍ／Ｇ／１／ｎ待ち行列の定常状態確率の近似（１）

待ち行列理論

まず、Ｍ／Ｍ／１／ｎ待ち行列を考えてみます。

図１

この場合、状態遷移図は簡単に書けて、左の図のようになります。

この図から以下の平衡方程式が導かれます。

[tex:0{\le}k
- $p(k+1)=up(k)$ ・・・・(1)

この式は $n{\ge}1$ である任意の $n$ について成り立ちます。ということは $n\rightar\infty$ の場合にも成り立ちます。ということはＭ／Ｍ／１でも（つまりジョブ数上限がない場合でも）成り立ちます。この結果は次のように言い表すことが出来ます。

Ｍ／Ｍ／１／ｎでの $p(k)$ と $p(k+1)$ の比は、Ｍ／Ｍ／１での $p(k)$ と $p(k+1)$ の比と同じである。

ここからＭ／Ｇ／１／ｎでも近似的に上記が成り立つと仮定します。つまり

Ｍ／Ｇ／１／ｎでの $p(k)$ と $p(k+1)$ の比は、Ｍ／Ｇ／１での $p(k)$ と $p(k+1)$ の比と同じである。

Ｍ／Ｇ／１における $p(k)$ の近似式はすでに「Ｍ／Ｇ／１定常状態分布の近似式」でで求めていました。それは

$p(0)=1-u$ ・・・・(2)
の時
- $p(k)\approx\frac{2*(1-u)}{1+c_e^2}\left(\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}\right)^k$ ・・・・(3)

というものです。ここで式(3)で $k=1$ とすると

$p(1)=\frac{2(1-u)}{1+c_e^2}\cdot\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e^2)u}$

よって

$p(1)=\frac{2(1-u)u}{2-(1-c_e^2)u}$ ・・・・(4)

式(4)と(2)から

$p(1)=\frac{2u}{2-(1-c_e^2)u}p(0)$ ・・・・(5)

式(3)から

の時
- $p(k+1)=\frac{(1+c_e^2)u}{2-(1-c_e-2)u}p(k)$ ・・・・(6)

となります。この式(5)(6)がＭ／Ｇ／１／ｎ待ち行列でも成り立つと仮定しましょう。そして仮に $p(0)=1$ と置いて、式(5)(6)を用いて他の $k$ についての $p(k)$ を求めます。最後に、

$\Bigsum_{k=0}^np(k)$

を求め、それで全ての $p(k)$ を割って新たにそれらを $p(k)$ とします。これは

$\Bigsum_{k=0}^np(k)=1$

を成り立たせるために行うものです。
このようにしてＭ／Ｇ／１／ｎ待ち行列の定常状態確率分布の近似値を得ます。