Ｍ／Ｄ／１／３待ち行列

待ち行列理論

では、「Ｍ／Ｇ／１／３待ち行列（１）」の式

  • p(0)=\frac{A(0)^2}{[1-A(1)]u+A(0)^2}・・・・(14)
  • p(1)=\frac{[1-A(0)]A(0)}{[1-A(1)]u+A(0)^2}・・・・(17)
  • p(2)=\frac{1-A(0)-A(1)}{[1-A(1)]u+A(0)^2}・・・・(18)
  • p(3)=\frac{-[1-A(1)](1-u)+A(0)^2}{[1-A(1)]u+A(0)^2}・・・・(16)
  • A(k)=\Bigint_0^{\infty}\frac{t^k}{t_a^kk!}\exp\left(-\frac{t}{t_a}\right)g(t)dt　(k=1,2)・・・・(20)

を用いてＭ／Ｄ／１／３待ち行列の定常状態確率分布を求めてみます。


サーバのサービス時間は一定の値t_eなので、サービス時間の分布g(t)は

  • g(t)=\delta(t-t_e)・・・・(21)

となります。これを式(20)に代入すると

  • A(k)=\frac{t_e^k}{t_a^kk!}\exp\left(-\frac{t_e}{t_a}\right)・・・・(22)

となります。ここで

  • \frac{t_e}{t_a}=u・・・・(23)

なので式(22)は

  • A(k)=\frac{u^k}{k!}\exp(-u)・・・・(24)

となります。よって

  • A(0)=\exp(-u)・・・・(25)
  • A(1)=u\exp(-u)・・・・(26)

式(25)(26)を(14)(17)(18)(16)に代入して、さまざまなuの値についてのp(0),p(1),p(2),p(3)を求めることが出来ます。それをグラフにしたものを下に示します。