神経回路網の自己組織と神経場のパターン力学　甘利俊一著（３）

時間 $t$ でのこの細胞の発生する出力パルスの頻度 $z(t)$ は $u(t)$ の関数で

$z(t)=f\left[u(t)\right]$ ・・・・(2)

のように書ける。一般に出力関数 $f$ は図２

図２　出力関数

に示すような単調増加関数であり、特に単位階段関数 $1(u)$ を用いて

$f(u)=1(u)=\left\{\begin{array}1&\;&u>1\\0&\;&u{\le}0\end{array}$ ・・・・(3)

とおいた場合には、出力は0, 1の二値をとる。

「神経回路網の自己組織と神経場のパターン力学――甘利俊一著――生物物理　Vol. 21 No.4 (1981)」より

この箇所は「マカロック・ピッツのモデル（２）」で記したことと同じです。

ここで、入力信号の組 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ と対応するシナプス荷重の組 $(s_1,s_2,\cdots,s_n)$ をベクトルで表わすことにし、

$\under{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 、　 $\under{s}=(s_1,s_2,\cdots,s_n)$

としよう。 $\under{x}$ を入力信号ベクトルまたは単に入力信号といい、 $\under{s}$ をシナプス荷重ベクトルまたは単にシナプス荷重という。両者の内積

$\under{s}\cdot\under{x}=\Bigsum_{i=1}^ns_ix_i$

は、神経細胞に入る刺激の（荷重付き）総和である。

「神経回路網の自己組織と神経場のパターン力学――甘利俊一著――生物物理　Vol. 21 No.4 (1981)」より

これは単に記法の説明です。

一般に、(1)の時定数 $\tau'$ は小さいから、入力 $\under{x}$ が一定であれば、(1)の $u(t)$ はすぐに平衡状態

$u=\under{s}\cdot\under{x}-h$ ・・・・(4)

に収束する。したがって、入力信号 $\under{x}$ の時間変化がゆっくりならば神経細胞の入出力関係を

$z=f(u)=f(\under{s}\cdot\under{x}-h)$ ・・・・(5)

と書いてよい。

「神経回路網の自己組織と神経場のパターン力学――甘利俊一著――生物物理　Vol. 21 No.4 (1981)」より

これは私が「神経回路網の自己組織と神経場のパターン力学　甘利俊一著（２）」でメモとして書いたことを簡潔に述べたものと思います。以下、この論文では入力信号 $\under{x}$ の時間変化が時定数 $\tau'$ に比べてゆっくりであると仮定して式(5)を前提にして話を進めていきます。「神経回路網の自己組織と神経場のパターン力学　甘利俊一著（２）」で登場した式(1)

$\tau'\dot{u}=-u(t)+\Bigsum_{i=1}^ns_ix_i-h$ ・・・・(1)

を気にする必要はありません。また、この論文では明記されていないのですが $\under{s}$ の変化も時定数 $\tau'$ に比べてゆっくりであると仮定してよいと思います。というのは、あとで出てくるように $\under{s}$ は $\under{x}$ を受信して始めて変化するからです。